Question

7．已知：如圖，正方形ABCD中，邊長為4，對角線AC、BD交于點O，P是線段BD上一動點，PM⊥PN分別交直線BC、CD于M、N．
（1）如圖1，點P和O重合時，求證：PM=PN；
（2）如圖2，點P為線段OB的中點時，求證：BM+$\frac{1}{3}$DN=2；
（3）如圖3，點P為線段OD的中點時，且CN=$\frac{1}{3}$DN，連接MN分別交AB、BD于E、F，直接寫出線段EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠MPC=∠NPD，CP=DP，∠PCM=∠PDN=45°，判定△PCM≌△PDN，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得出PM=PN；
（2）過P作PQ⊥BD，交BC于Q，判定△MPQ∽△NPD，得到$\frac{MQ}{ND}$=$\frac{PQ}{PD}$，根據(jù)MQ=$\frac{1}{3}$DN，BQ=$\frac{1}{2}$BC=2，即可得出BM+$\frac{1}{3}$DN=2；
（3）過P作PQ⊥BD，交CD于Q，判定△PBM∽△PQN，得到$\frac{NQ}{MB}$=$\frac{PQ}{PB}$，根據(jù)BM=3NQ，求得CN，BM，ME以及EN的長，再根據(jù)△MBE∽△MCN，△BEF∽△DNF，即可得出EN的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到線段EF的長．

解答 解：（1）依題意得，∠MPN=∠CPD=90°，
∴∠MPC=∠NPD，
又∵正方形ABCD中，AC、BD交于點O，
∴CP=DP，∠PCM=∠PDN=45°，
在△PCM和△PDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPC=∠NPD}\\{CP=DP}\\{∠PCM=∠PDN}\end{array}\right.$，
∴△PCM≌△PDN（ASA），
∴PM=PN；

（2）證明：如圖2，過P作PQ⊥BD，交BC于Q，則∠BPQ=90°，
∴∠PQM=∠PDN=45°，
依題意得，∠MPN=∠QPD=90°，
∴∠MPQ=∠NPD，
∴△MPQ∽△NPD，
∴$\frac{MQ}{ND}$=$\frac{PQ}{PD}$，
∵點P為線段OB的中點，
∴BP=$\frac{1}{2}$BO=$\frac{1}{2}$OD，即BP=$\frac{1}{3}$PD，
∴PQ=$\frac{1}{3}$PD，
∴$\frac{MQ}{ND}$=$\frac{1}{3}$，即MQ=$\frac{1}{3}$DN，
∵PQ∥OC，點P為線段OB的中點，
∴點Q為BC的中點，
∴BQ=$\frac{1}{2}$BC=2，即BM+MQ=2，
∴BM+$\frac{1}{3}$DN=2；

（3）EF=$\frac{5}{14}\sqrt{2}$．
理由：如圖3，過P作PQ⊥BD，交CD于Q，則∠BPQ=∠MPN=90°，∠PQD=45°，
∴∠MPB=∠NPQ，
∵∠PQD=∠PBC=45°，
∴∠PBM=∠PQN=135°，
∴△PBM∽△PQN，
∴$\frac{NQ}{MB}$=$\frac{PQ}{PB}$，
又∵點P為線段OD的中點，
∴PD=$\frac{1}{3}$PB=PQ，
∴$\frac{NQ}{MB}$=$\frac{1}{3}$，即BM=3NQ，
∵CN=$\frac{1}{3}$DN=$\frac{1}{4}$CD=1，
∴DN=3，
∵PQ∥OC，P為線段OD的中點，
∴Q為CD的中點，
∴DQ=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴NQ=3-2=1，
∴BM=3NQ=3，CM=3+4=7，
∴Rt△CMN中，MN=$\sqrt{{7}^{2}+{1}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∵EB∥NC，
∴△MBE∽△MCN，△BEF∽△DNF，
∴$\frac{BE}{CN}$=$\frac{MB}{MC}$=$\frac{ME}{MN}$，即$\frac{BE}{1}$=$\frac{3}{7}$=$\frac{ME}{5\sqrt{2}}$，
∴BE=$\frac{3}{7}$，ME=$\frac{15}{7}\sqrt{2}$，
∴EN=MN-ME=5$\sqrt{2}$-$\frac{15}{7}\sqrt{2}$=$\frac{20}{7}\sqrt{2}$，
∵$\frac{EF}{NF}=\frac{BE}{DN}$，
∴$\frac{EF}{\frac{20}{7}\sqrt{2}-EF}$=$\frac{\frac{3}{7}}{3}$，
解得EF=$\frac{5}{14}\sqrt{2}$．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形以及相似三角形，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到線段的長．