Question

15．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，此時PD=3．在AB邊上有一個動點F，且不與點A，B重合．當(dāng)AF=$\frac{16}{11}$時，△MEF的周長最�。�

Answer 1

分析 如圖1，做點M關(guān)于AB的對稱點M′，連接M′E交AB于點F，則點F即為所求，過點E作EN⊥AD，垂足為N，由（1）可得AM，利用勾股定理可得ME和NM′，由△AFM′∽△NEM′，利用相似三角形的性質(zhì)可得AF；

解答 解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=4，∠D=90°，
∵矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，
∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，
∴PM=5，
如圖1，做點M關(guān)于AB的對稱點M′，連接M′E交AB于點F，則點F即為所求，過點E作EN⊥AD，垂足為N，
∵AM=AD-MP-PD=12-5-3=4，
∴AM=AM′=4，
∵矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，
∴∠CEP=∠MEP，∠CEP=∠MPE，
∴∠MEP=∠MPE，
∴ME=MP=5；
在Rt△ENM中，MN=3，
∴NM′=11，
∵AF∥ME，
∴△AFM′∽△NEM′，
∴$\frac{M′A}{M′N}$=$\frac{AF}{EN}$，
即$\frac{4}{11}$=$\frac{AF}{4}$，
解得：AF=$\frac{16}{11}$，
即AF=$\frac{16}{11}$時，△MEF的周長最小；
故答案為：$\frac{16}{11}$．

點評 本題主要考查了折疊的性質(zhì)和最短路徑問題，做對稱點利用勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．