Question

9．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交底邊BC于D．
（1）求證：BD=CD；
（2）若AB=3，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，在腰AC上取一點(diǎn)E使AE=$\frac{8}{3}$，試判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD，如圖，根據(jù)圓周角角定理，由AB為直徑得∠ADB=90°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD=CD；
（2）連結(jié)OD，如圖，在Rt△ABD中，先利用余弦定義計(jì)算出BD=$\frac{1}{3}$AB=1，則Cd=1，再利用勾股定理計(jì)算出AD=2$\sqrt{2}$，則有$\frac{AD}{AC}$$\frac{AE}{AD}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，加上∠DAE=∠CAD，于是可判斷△ADE∽△ACD，所以∠AED=∠ADC=90°，接著證明OD為△ABC的中位線得到OD∥AC，所以O(shè)D⊥DE，則根據(jù)切線的判定定理可判斷DE為⊙O的切線．

解答 （1）證明：連結(jié)AD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
而AB=AC，
∴BD=CD；
（2）解：DE與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OD，如圖，
在Rt△ABD中，∵cos∠ABD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴BD=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}$×3=1，
∴AD=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，CD=1，
∵$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\frac{8}{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AC}$，
而∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC=90°，
∴DE⊥AC，
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE為⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)．