Question

1．如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點(diǎn)，BD平分∠ABC，點(diǎn)F在AB上，且BF=BC．求證：
（1）DF=AE；
（2）DF⊥AC．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)G，連接AD．構(gòu)建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），則由該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)論；
（2）設(shè)AC與FD交于點(diǎn)O．利用（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，等角的補(bǔ)角相等以及三角形內(nèi)角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．

解答 證明：（1）延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)G，連接AD．
∵四邊形BCDE是平行四邊形，
∴ED∥BC，ED=BC．
∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∠ABC=90°，
∴AG=BG，DG⊥AB．
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．
又BF=BC，
∴BF=DE．
∴在△AED與△DFB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADE=∠DBF}\\{ED=FB}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴AE=DF，即DF=AE；

（2）設(shè)AC與FD交于點(diǎn)O．
∵由（1）知，△AED≌△DFB，
∴∠AED=∠DFB，
∴∠DEO=∠DFG．
∵∠DFG+∠FDG=90°，
∴∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．