Question

1．如圖：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（-1，0），B（3，0），C（0，-5），
（1）試確定此二次函數(shù)的解析式；
（2）點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P，使PB+PC的值最��？如果存在，請求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x-3），代入C（0，-5）求得a的值即可；
（2）先求得對稱軸為直線x=1，然后利用待定系數(shù)法確定直線BC的關(guān)系式為y=$\frac{5}{3}$x-5，由于使得PB+PC的值最小的點P為直線BC與對稱軸的交點，把x=1代入為y=$\frac{5}{3}$x-5即可確定P點坐標(biāo)．

解答 解：（1）根據(jù)題意設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x-3），
代入C（0，-5）得，-5=-3a，
解得a=$\frac{5}{3}$．
故二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{5}{3}$（x+1）（x-3）=$\frac{5}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x-5；
（2）作拋物線的對稱軸l，交BC于P，
∵拋物線的對稱軸x=-$\frac{2a}$=1，
∴P點的橫坐標(biāo)為1，．
設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為y=kx+t（k≠0）．
∵由B（3，0），C（0，-5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+t=0}\\{t=-5}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{t=-5}\end{array}\right.$．
∴直線BC的函數(shù)表達式為y=$\frac{5}{3}$x-5．
將x=1代入得y=-$\frac{10}{3}$．
∴P點的坐標(biāo)為（1，-$\frac{10}{3}$）．

點評 本題綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對稱-最短路線問題，（2）題的關(guān)鍵點是確定點P的位置．