Question

11．如圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)B，C，經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P，且對(duì)稱軸是直線x=2．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）請(qǐng)問(wèn)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）過(guò)S（0，4）的動(dòng)直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，試問(wèn)拋物線上是否存在定點(diǎn)T，使得不過(guò)定點(diǎn)T的任意直線l都有∠MTN=90°？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求B（3，0），C（0，3），再根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）存在，分三種情況：過(guò)B點(diǎn)垂直BC的直線的解析式為y=x+b，過(guò)C點(diǎn)垂直BC的直線解析式為y=x+3，以BC為斜邊，進(jìn)行討論可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），T（a，b），過(guò)T作PQ∥x軸，過(guò)M，N作MP⊥PQ于P，NQ⊥PQ于Q，可證△MPT∽△TQN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得a（x₁+x₂）-a²-x₁x₂=y₁y₂-b（y₁+y₂）+b²，再根據(jù)x₁，x₂，y₁，y₂是$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$的解，得到x²-（4+k）x-1=0，得到k為任何實(shí)數(shù)，3-b=0，16-4b-a=0，a²-4a-8b+b²+15=0，解得a=4，b=3，從而求解．

解答 解：（1）∵直線y=-x+3與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)B，C，
∴B（3，0），C（0，3），
∵對(duì)稱軸為直線x=2，
∴設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-1）（x-3），
把C（0，3）代入得3a=3，解得a=1，
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；
（2）存在，設(shè)過(guò)B點(diǎn)垂直BC的直線的解析式為y=x+b，
把B（3，0）代入得b=-3，
則直線的解析式為y=x-3，
依題意有$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
∴Q₁（2，-1），
過(guò)C點(diǎn)垂直BC的直線解析式為y=x+3，
依題意有$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=5}\\{{y}_{2}=8}\end{array}\right.$，
∴Q₂（5，8），
以BC為斜邊，設(shè)β（a，a²-4a+3），則
a²+（a²-4a）²+（a-3）²+（a²-4a+3）²=18，
a³-8a²+20a-15=0，
（a-3）（a²-5a+5）=0，
解得a₁=3，a₂=$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$，
∴Q₃（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$），Q₄（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$），
∴存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形；
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），T（a，b），
過(guò)T作PQ∥x軸，過(guò)M，N作MP⊥PQ于P，NQ⊥PQ于Q，
則∠MTN=90°，
則△MPT∽△TQN，
∴$\frac{{x}_{2}-a}{{y}_{1}-b}$=$\frac{{y}_{2}-b}{a-{x}_{1}}$，
a（x₁+x₂）-a²-x₁x₂=y₁y₂-b（y₁+y₂）+b²，
其中x₁，x₂，y₁，y₂是$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$的解，
∴x²-（4+k）x-1=0，
x₁x₂=-1，
x₁+x₂=k+4，
y₁y₂=k²x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16=-k²+4k（k+4）+16，
y₁+y₂=k（k+4）+8，
1+a（k+4）-a²=-k²+4k（k+4）+16-b（k²+4k+8）+b²，
1+ak+4a-a²=-k³+4k²+16k+16-bk²-4bk-8b+b²，
∴（3-b）k²+（16-4b-a）k+a²-4a-8b+b²+15=0，
∵y=kx+b有無(wú)數(shù)條，
∴k為任何實(shí)數(shù)，3-b=0，16-4b-a=0，a²-4a-8b+b²+15=0，
解得a=4，b=3，
存在點(diǎn)T（4，3）使得不過(guò)定點(diǎn)T的任意直線l都有∠MTN=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的解析式，直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．