Question

11．實踐與操作：我們在學(xué)習(xí)四邊形的相關(guān)知識時，認(rèn)識了平行四邊形、矩形、菱形、正方形等一些特殊的四邊形，下面我們用尺規(guī)作圖的方法來體會它們之間的聯(lián)系．如圖，在?ABCD中，AB=4，BC=6，∠ABC=60°，請完成下列任務(wù)：
（1）在圖1中作一個菱形，使得點A、B為所作菱形的2個頂點，另外2個頂點在?ABCD的邊上；在圖2中作一個菱形，使點B、D為所作菱形的2個頂點，另外2個頂點在?ABCD的邊上；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）請在圖形下方橫線處直接寫出你按（1）中要求作出的菱形的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖1，在AD、BC上分別截取AF=BE=4，連結(jié)EF，則四邊形ABEF是菱形；
如圖2，連結(jié)BD，作BD的垂直平分線，交AD于E，BC于F，則四邊形BEDF是菱形；
（2）如圖1，作?ABCD的高AH，根據(jù)菱形的面積=底×高列式計算即可；
如圖2，設(shè)BD與EF交于點O，作DM⊥BC于M，則CM=BH=2，DM=AH=2$\sqrt{3}$．分別求出BD與EF，根據(jù)菱形的面積=兩對角線乘積的一半列式計算即可．

解答 解：（1）如圖所示：


（2）如圖1，作?ABCD的高AH．
在直角△ABH中，∵AB=4，∠ABC=60°，
∴AH=AB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，BH=AB•cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2，
∴S_菱形ABEF=BE•AH=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$；
如圖2，設(shè)BD與EF交于點O，作DM⊥BC于M，則CM=BH=2，DM=AH=2$\sqrt{3}$．
在直角△BDM中，∵∠M=90°，
∴BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{（6+2）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{19}$．
設(shè)BF=x，CF=y，則DF=x，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{{x}^{2}=（y+2）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{19}{4}}\\{y=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴OF=$\sqrt{B{F}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{19}{4}）^{2}-（\sqrt{19}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{57}}{4}$，
∴S_菱形ABEF=$\frac{1}{2}$BD•EF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{19}$×$\frac{\sqrt{57}}{2}$=$\frac{19\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，作圖-復(fù)雜作圖，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．