Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，己知正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，-1），頂點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c（b、c常數(shù)）的頂點(diǎn)P為正方形對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)時(shí)，求拋物線的解析式；
（2）若拋物線與直線AC相交于另一點(diǎn)Q（Q非拋物線頂點(diǎn)，且Q在第一象限內(nèi)），求證；PQ長(zhǎng)是定值；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，取BC的中點(diǎn)N，求NP+BQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組即可；
（2）先利用正方形性質(zhì)得到C（4，3），再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x-1，再求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（b，c+$\frac{1}{2}$b²），然后把P（b，c+$\frac{1}{2}$b²）代入y=x-1得到b²-2b=-2c-2，設(shè)P（x₁，x₁-1），Q（x₂，x₂-1），則x₁、x₂為-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=x-1的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2（b-1），x₁x₂=-2-2c，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算PQ²=2（x₁-x₂）²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=2[4（b-1）²-4（-2-2c）]=8（b²-2b+1+2+2c）=8，從而判定PQ長(zhǎng)是定值；
（3）取AB的中點(diǎn)E，連接EN，DE，DE交AC于Q，如圖，則EN=2$\sqrt{2}$，EN∥AC，則過N點(diǎn)作DE的平行線交AC于P，利用四邊形QENP為平行四邊形得到PN=QE，所以PN+QB=QE+DQ=DE，利用兩點(diǎn)之間線段最短判斷此時(shí)PN+QB的值最小，利用勾股定理可計(jì)算出它的最小值．

解答 （1）解：把A（0，-1），B（4，-1）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{-8+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{4}}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{9}{4}$x-1；
（2）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
而AB=4，
∴C（4，3），
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（0，-1），C（4，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=-1}\\{4m+n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=x-1，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=-$\frac{1}{2}$（x-b）²+c+$\frac{1}{2}$b²，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（b，c+$\frac{1}{2}$b²），
把P（b，c+$\frac{1}{2}$b²）代入y=x-1得P的坐標(biāo)c+$\frac{1}{2}$b²=b-1，即b²-2b=-2c-2，
設(shè)P（x₁，x₁-1），Q（x₂，x₂-1），
則x₁、x₂為-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=x-1的兩根，
整理為x²-2（b-1）x-2-2c=0，
∴x₁+x₂=2（b-1），x₁x₂=-2-2c，
∴PQ²=（x₁-x₂）²+（x₁-x₂）²=2（x₁-x₂）²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=2[4（b-1）²-4（-2-2c）]=8（b²-2b+1+2+2c）=8（-2-2c+1+2+2c）=8，
∴PQ=2$\sqrt{2}$，
即PQ長(zhǎng)是定值；
（3）取AB的中點(diǎn)E，連接EN，DE，DE交AC于Q，如圖，
∵BE=2，BN=2，
∴EN=2$\sqrt{2}$，
∵EN∥AC，
∴過N點(diǎn)作DE的平行線交AC于P，
∴四邊形QENP為平行四邊形，
∴PN=QE，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴QB=QD，
∴PN+QB=QE+DQ=DE，
此時(shí)PN+QB的值最小，最小值為$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；能應(yīng)用兩點(diǎn)之間線段最短解決路徑最短問題；會(huì)運(yùn)用勾股定理和兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)．