Question

17．已知拋物線C₁：y=ax²-2amx+am²+2m+3（a＞0，m＜0）的頂點為A，將拋物線C₁繞點Q（-$\frac{1}{2}$，2），旋轉180°得到拋物線C₂，拋物線C₂的頂點B在y軸上．
（1）求拋物線C₁的頂點坐標；（用m表示）
（2）若a=1，求拋物線C₂的解析式；
（3）若m=-1，E（1，3），F(xiàn)（2，4），是否存在a使拋物線C₁與線段EF有兩個相異的交點？若存在，請求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求拋物線C₁的頂點坐標；
（2）先設拋物線C₁的頂點為A，拋物線C₂的頂點為B，作輔助線，根據(jù)題意可知：點A與點B關于點Q成中心對稱，由此求出點B的坐標，因為拋物線C₂的開口向下，所以a=-1，寫出拋物線C₂的解析式；
（3）先求直線EF的解析式，列方程組，如果方程組有兩個不相等的實數(shù)解，且滿足1≤x≤2，則存在這樣的a值，求出即可；經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)其中有一個交點為（-1，1），不在線段EF上，所以不存在．

解答 解：（1）y=ax²-2amx+am²+2m+3，
=a（x²-2mx+m²）+2m+3，
=a（x-m）²+2m+3，
∴拋物線C₁的頂點坐標為：（m，2m+3）；
（2）如圖1，設拋物線C₁的頂點為A，拋物線C₂的頂點為B，分別過A、Q作y軸的垂線，垂足分別為E、F，則QF∥AE，
∵拋物線C₁繞點Q（-$\frac{1}{2}$，2），旋轉180°得到拋物線C₂，
∴拋物線C₁與拋物線C₂關于點Q成中心對稱，
即點A與點B關于點Q成中心對稱，
∴AQ=BQ，
∴QF中△ABE的中位線，
∴AE=2QF，
∵Q（-$\frac{1}{2}$，2），
∴QF=$\frac{1}{2}$，
∴AE=1，
∵A（m，2m+3），m＜0；
∴m=-1，2m+3=1，
∴A（-1，1），
∵OF=2，OE=1，
∴OB=3，
∴B（0，3），
∴拋物線C₂的解析式為：y=-ax²+3，即y=-x²+3；
（3）設直線EF的解析式為：y=kx+b，
把E（1，3），F(xiàn)（2，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=3}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴線段EF的解析式為：y=x+2（1≤x≤2），
當m=-1時，y=ax²+2ax+a+1，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}+2ax+a+1}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，
ax²+2ax+a+1=x+2，
ax²+（2a-1）x+a-1=0，
△=（2a-1）²-4a（a-1）=4a²-4a+1-4a²+4a=1，
x=$\frac{1-2a±1}{2a}$，
x₁=-1，x₂=$\frac{2-2a}{2a}$=$\frac{1-a}{a}$，
當x=-1時，y=1，
∵（-1，1）這個交點不在線段EF上，所以拋物線C₁與線段EF最多有一個交點，
故當m=-1時拋物線C₁與線段EF不存在兩個相異的交點．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了字母系數(shù)的二次函數(shù)，利用配方法求頂點坐標，也可以利用公式：（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$）代入計算；與方程組結合可以求兩函數(shù)的交點坐標，同時根據(jù)根的判別式可以判斷其交點的個數(shù)．