Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，延長BA至點P，過點P作⊙O的切線PC，切點為C，過點B向PC的延長線作垂線BE交該延長線于點E，BE交⊙O于點D，已知PA=1，PC=$\sqrt{3}$OC，
（1）求BE的長；
（2）連結(jié)DO，延長DO交⊙O于F，連結(jié)PF，
①求DE的長；
②求證：PF是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）在直角△OPC中，利用勾股定理即可得到圓的半徑長，然后利用相似三角形的性質(zhì)求得BE的長；
（2）①證明△OBD是等邊三角形，即可求得DE的長；
②首先證明△OPC≌△OPF，根據(jù)切線的判定定理即可證得．

解答 解：（1）設(shè)圓的半徑是r，則OP=PA+r=1+r，OC=r，PC=$\sqrt{3}$r．
∵PC是圓的切線，
∴∠PCO=90°，
∴在直角△PCO中，PC²+OC²=OP²，即（$\sqrt{3}$r）²+r²=（1+r）²，
解得：r=1或r=-$\frac{1}{3}$（舍去負值）．
在直角△OPC中，cos∠POC=$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠POC=60°，
∵∠PCO=90°，BE⊥BC，
∴BE∥OC，
∴△OPC∽△BPE，∠B=∠POC=60°，
∴$\frac{OC}{BE}$=$\frac{OP}{BP}$=$\frac{2}{3}$，
∴BE=$\frac{2}{3}$OC=$\frac{3}{2}$；

（2）①在△OBD中，OB=OD，∠B=60°，
∴△OBD是等邊三角形，BD=OB=1，∠BOD=60°．
∴DE=BE-BD=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$；
②∵在△OPC和△OPF中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OF}\\{∠POF=∠BOD}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△OPC≌△OPF（SAS），
∴∠OFP=∠OCP=90°，
∴PF是⊙O的切線．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理、切線的判定、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用勾股定理求得圓的半徑是關(guān)鍵．