Question

17．近年來(lái)，國(guó)家大力提倡大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，2015年小王就要畢業(yè)了，因?yàn)樗麑W(xué)的是市場(chǎng)營(yíng)銷專業(yè)，所以畢業(yè)后想開一個(gè)商店，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若投資一個(gè)面積為x（單位：m²）的商鋪，所需購(gòu)買費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）與x+2成正比例，裝修費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）與x²成正比例，并在調(diào)查過(guò)程中得到了表格中的數(shù)據(jù)：

商鋪的面積（m2）	購(gòu)買費(fèi)用（萬(wàn)元）	裝修費(fèi)用（萬(wàn)元）
1	1.8	0.3

（1）如果小王用從銀行貸款30萬(wàn)元、父親資助20萬(wàn)元、自己大學(xué)期間勤工儉學(xué)的收入1.6萬(wàn)元，共51.6萬(wàn)元投資一個(gè)商鋪，請(qǐng)計(jì)算小王投資的這個(gè)商鋪的面積為多少平方米；（總費(fèi)用=購(gòu)買費(fèi)用+裝修費(fèi)用）
（2）購(gòu)買商鋪后，小王準(zhǔn)備經(jīng)營(yíng)童鞋專賣店，已知專賣店代理的某品牌童鞋的進(jìn)價(jià)為每雙40元，該品牌童鞋日銷售量y（雙）與銷售單價(jià)x（元/雙）之間的關(guān)系式為：
y=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+140（40≤x≤58）}\\{-x+82（58＜x≤71）}\end{array}\right.$
①求他的銷售利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元/雙）之間的函數(shù)關(guān)系式．
②小王每月需向銀行還貸2075元，另童鞋店每月需繳納水電費(fèi)、營(yíng)業(yè)稅等固定費(fèi)用3000元，通過(guò)計(jì)算判斷，小王每月（按30天計(jì)算）能否有盈余？如果有，最多盈余多少元？（盈余=銷售利潤(rùn)-固定費(fèi)用-銀行貸款）

Answer 1

分析 （1）商鋪面積是x平方米時(shí)購(gòu)買費(fèi)用是（0.6x+1.2）萬(wàn)元、裝修費(fèi)用是0.3x²萬(wàn)元，根據(jù)總費(fèi)用=購(gòu)買費(fèi)用+裝修費(fèi)用列出一元二次方程求解即可；
（2）①分40≤x≤58和58＜x≤71時(shí)利用總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷量列出有關(guān)的分段函數(shù)即可；
②分別求得利潤(rùn)的最大值，求差幾塊確定答案．

解答 解：（1）由條件：投資一個(gè)面積為x（單位：m²）的商鋪，所需購(gòu)買費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）與x+2成正比例，裝修費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）與x²成正比例，和表格中的數(shù)據(jù)可得，商鋪面積是x平方米時(shí)購(gòu)買費(fèi)用是（0.6x+1.2）萬(wàn)元、裝修費(fèi)用是0.3x²萬(wàn)元，
由題意列方程，0.3x²+0.6x+1.2=51.6
即（x+1）²=169，解得x₁=12，x₂=-14（舍去）
所以，小王投資的這個(gè)商鋪的面積為12平方米；

（2）①當(dāng)40≤x≤58時(shí)，w=（x-40）（-2x+140）=-2x²+220x-5600，
當(dāng)58＜x≤71時(shí)，w=（x-40）（-x+82）=-x²+122x-3280，
所以，w（元）與銷售單價(jià)x（元/雙）之間的函數(shù)關(guān)系式為：$w=\left\{\begin{array}{l}-2{x^2}+220x-5600（40≤x≤58）\\-{x^2}+122x-3280（58＜x≤71）\end{array}\right.$，
②當(dāng)40≤x≤58x=55
時(shí)，w=-2x²+220x-5600=-2（x-55）²+450
所以，當(dāng)時(shí)，日最大銷售利潤(rùn)為450元，月最大銷售利潤(rùn)是13500元，
月最大盈余：13500-2075-3000=8420元，
當(dāng)58＜x≤71時(shí)，w=-x²+122x-3280=-（x-61）²+441，
當(dāng)x=61時(shí)，日最大利潤(rùn)是441元，月最大銷售利潤(rùn)是13230元，
月最大盈余：13230-2075-3000=8155元，
答：小王每月（按30天計(jì)算）能有盈余，最多盈余8420元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，從復(fù)雜的題意中整理出二次函數(shù)模型，難度不大，重點(diǎn)是讀懂題意．