Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意三點A，B，C，給出如下定義：
若矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A，B，C三點都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點A，B，C的外延矩形．點A，B，C的所有外延矩形中，面積最小的矩形稱為點A，B，C的最佳外延矩形．例如，圖1中的矩形A₁B₁C₁D₁，A₂B₂C₂D₂，A₃B₃CD₃都是點A，B，C的外延矩形，矩形A₃B₃CD₃是點A，B，C的最佳外延矩形．
（1）如圖1，已知A（-2，0），B（4，3），C（0，t）．
①若t=2，則點A，B，C的最佳外延矩形的面積為18；
②若點A，B，C的最佳外延矩形的面積為24，則t的值為4或-1；
（2）如圖2，已知點M（6，0），N（0，8）．P（x，y）是拋物線y=-x²+4x+5上一點，求點M，N，P的最佳外延矩形面積的最小值，以及此時點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍；
（3）如圖3，已知點D（1，1）．E（m，n）是函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上一點，矩形OFEG是點O，D，E的一個面積最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圓，請直接寫出⊙H的半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①利用最佳外延矩形的定義求解即可，②利用最佳外延矩形的定義求解即可；
（2）先求出M，N，P的最佳外延矩形，且面積最小，利用拋物線求出與y軸及矩形的交點即可求出點M，N，P的最佳外延矩形面積的最小值時點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍；
（3）求出OD所在的直線交雙曲線于點E，矩形OFEG是點O，D，E的一個面積最小的最佳外延矩形時⊙H的半徑及當(dāng)點E的縱坐標(biāo)為1時矩形OFEG是點O，D，E的一個面積最小的最佳外延矩形時⊙H的半徑即可．

解答 解：（1）①如圖1，

∵A（-2，0），B（4，3），C（0，2）．
∴點A，B，C的最佳外延矩形的面積為[4-（-2）]×3=18．
故答案為：18．
②如圖2，

∵點A，B，C的最佳外延矩形的面積為24，
∴A（-2，0），B（4，3），C（0，4）或A（-2，0），B（4，3），C（0，-1）．
∴t=4或t=-1；        
故答案為：4或-1．
（2）如圖3，過M點作x軸的垂線與過N點垂直于y軸的直線交于點Q，則當(dāng)點P位于矩形OMQN內(nèi)部或邊界時，矩形OMQN是點M，N，P的最佳外延矩形，且面積最�。�
∵S_矩形OMQN=OM•ON=6×8=48，
∴點M，N，P的最佳外延矩形面積的最小值為48．
拋物線y=-x²+4x+5與y軸交于點T（0，5）．
令y=0，有-x²+4x+5=0，
解得  x=-1（舍），或x=5．
令y=8，有=-x²+4x+5=8，
解得  x=1，或x=3．
∴0≤x≤1，或3≤x≤5． 
（3）如圖4，OD所在的直線交雙曲線于點E，矩形OFEG是點O，D，E的一個面積最小的最佳外延矩形，

∵點D（1，1），
∴OD所在的直線表達(dá)式為y=x，
∴點E的坐標(biāo)為（2，2）
∴OE=2$\sqrt{2}$，
∴⊙H的半徑r=$\sqrt{2}$，
如圖5，

∵當(dāng)點E的縱坐標(biāo)為1時，1=$\frac{x}{4}$，解得x=4，
∴OE=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴⊙H的半徑r=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴$\sqrt{2}≤r≤\frac{{\sqrt{17}}}{2}$．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及點的坐標(biāo)，正方形及長方形的面積及雙曲線等知識，解題的關(guān)鍵是最佳外延矩形的定義．