Question

3．己知：如圖，若△ABD和△ACE為等腰Rt△，AB=DB，AC=CE，M為DE中點(diǎn)，求證：△BMC為等腰Rt△．

Answer 1

分析 分別取AD、AE中點(diǎn)E、F，連接BE、EM，再連接FM、FC，只要證明△BEM≌△MFC（SAS）即可解決問題．

解答 證明：分別取AD、AE中點(diǎn)E、F，連接BE、EM，再連接FM、FC，
∵M(jìn)為DE中點(diǎn)，∠AABD=90°，∠BCE=90°，
∴EB=$\frac{1}{2}$AD，F(xiàn)C=$\frac{1}{2}$AE，
∵M(jìn)是△ADE中DE邊上的中點(diǎn)，
∴FM是△ABC的中位線．
∴FM=$\frac{1}{2}$AD，同理EM=$\frac{1}{2}$A
∴EB=FM，EM=CF，
∵FM∥AD且FM=AE，
∴四邊形AEMF為平行四邊形，
∴∠AEM=∠AFM．
∵∠AEB=∠AFC=90°，
∴∠AEM+∠BEM=∠AFM+∠MFC，
即∠BEM=∠MFC，
∴△BEM≌△MFC（SAS）．
∴BM=CM．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．