Question

9．已知點(diǎn)A（2，4），B（4，a），C（b，-$\frac{8}{3}$）都在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上．
（1）分別求出k，a和b的值．
（2）若P，Q，R是該反比例函數(shù)圖象上的三點(diǎn)，分別過P，Q，R三點(diǎn)向x軸、y軸作垂線，構(gòu)成三個(gè)矩形，他們的面積分別是S₁，S₂，S₃，試比較S₁，S₂，S₃的大�。�
（3）若H是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，延長HO交該函數(shù)的圖象于點(diǎn)M，HN⊥x軸，MN⊥y軸，HN與MN交于點(diǎn)N，求△HMN的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得k的值，然后將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別代入該反比例函數(shù)的解析式，列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，通過解方程組即可求得．
（2）根據(jù)過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積S是個(gè)定值，即S=|k|，判斷S₁=S₂=S₃．
（3）此題可根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性得H、M兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得出△HMN的面積．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（2，4）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=2×4=8，
∵B（4，a），C（b，-$\frac{8}{3}$）都在反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$的圖象上
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{8}{4}}\\{-\frac{8}{3}=\frac{8}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x₁，y₁） 點(diǎn)Q坐標(biāo)（x₂，y₂） 點(diǎn)R坐標(biāo)（x₃，y₃），
∵S₁=x₁•y₁=k，S₂=x₂•y₂=k，S₃=x₃•y₃=k，
∴S₁=S₂=S₃．
（3）如圖，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)M坐標(biāo)為（-x，-y），
所以HN=2y，MN=2x，
所以Rt△HMN的面積為$\frac{1}{2}$MN•HN=$\frac{1}{2}$×2x•2y=2xy=2|k|=16．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$中k的幾何意義．這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．