Question

17．在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$，求這個(gè)三角形的面積．
小芳同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．
（1）請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫(xiě)在橫線上3.5．
思維拓展：
（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為$\sqrt{2}$a、$\sqrt{13}$a、$\sqrt{17}$a（a＞0），請(qǐng)利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a）畫(huà)出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積填寫(xiě)在橫線上6.5a²；
探索創(chuàng)新：
（3）請(qǐng)參照小芳的解答問(wèn)題過(guò)程中的思想方法，證明：對(duì)于任意整數(shù)a，b，c，均有$\sqrt{{a^2}+{b^2}}+\sqrt{{b^2}+{c^2}}+\sqrt{{c^2}+{a^2}}≥\sqrt{2}$（a+b+c）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形得出S_△ABC=大矩形的面積-3個(gè)小三角形的面積，根據(jù)面積公式求出即可；
（2）先畫(huà)出符合的三角形，再根據(jù)圖形和面積公式求出即可；
（3）先畫(huà)出圖形，根據(jù)圖形得到$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$+$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$+$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$≥$\sqrt{2}$（a+b+c），依此即可證明．

解答 解：（1）△ABC的面積是4.5，理由是：
S_△ABC=3×3-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×3×1-$\frac{1}{2}$×3×2
=9-1-1.5-3
=3.5．
故答案為：3.5；

（2）如圖2的△ABC，

S_△ABC=4a×3a-$\frac{1}{2}$×4a×a-$\frac{1}{2}$×3a×2a-$\frac{1}{2}$×a×a
=12a²-2a²-3a²-0.5a²
=6.5a²，
即△ABC的面積是6.5a²．
故答案為：6.5a²．

（3）證明：如圖所示：

$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$+$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$+$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$≥$\sqrt{2}$（a+b+c），a=b=c時(shí)等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確畫(huà)出格點(diǎn)三角形，難度較大．