Question

20．已知，如圖，△ABC中，AB=AC，BD，CE為△ABC的高，且BD，CE交于點O．
（1）圖中共有幾個等腰三角形？分別是哪些三角形？
（2）其中△ODE是等腰三角形嗎？若是，請說明理由；
（3）若∠A=45°，還有哪些三角形也是等腰三角形？OE與DC會相等嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的判定定理判斷即可；
（2）由AB=AC，得到∠ABC=∠ACB，由于BD，CE為△ABC的高，于是得到∠BEC=∠CDB=90°，證得BO=CO，推出△EBC≌△DCB，證得BD=EC，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的判定定理就可得到△ABD，△ACE，△BEO，△DCO也是等腰三角形，由于∠A=45°，BD，CE為△ABC的高，得到△BEO，△DCO是等腰三角形，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）圖中有四個等腰三角形，分別是△ABC，△BOC，△AED，△OED；

（2）△OED是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD，CE為△ABC的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
∴∠ECB=∠DBC，
∴BO=CO，
在△EBC與△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ACB}\\{∠BEC=∠CDB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DCB，
∴BD=EC，
∴OD=BD-OB，OE=CE-OC，
∴OE=OD，
∴△OED是等腰三角形；

（3）若∠A=45°，△ABD，△ACE，△BEO，△DCO也是等腰三角形，OE=DC，理由如下：
∵∠A=45°，BD，CE為△ABC的高，
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠BOE=∠DOC=45°，
∴BE=OE，OD=CD，
∵OE=OD，
∴OE=CD．

點評 本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．