Question

9．如圖，已知一次函數(shù)y₁=x+b（b＞0）的圖象與反比例函數(shù)y₂=$\frac{6}{x}$的圖象交于A、B兩點(diǎn)，已知當(dāng)x＞1時(shí)，y₁＞y₂；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y₁＜y₂．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）若過A點(diǎn)的直線與雙曲線y₂=$\frac{6}{x}$的圖象有唯一公共點(diǎn)，求直線解析式；
（3）若點(diǎn)C在雙曲線y₂=$\frac{6}{x}$的圖象上，且S_△CAB=14，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)x＞1時(shí)，y₁＞y₂，0＜x＜1時(shí)，y₁＜y₂確定點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，然后代入反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線解析式解答；
（2）設(shè)過A點(diǎn)的直線的解析式為y=kx+b，得到直線的解析式為y=kx+6-k，根據(jù)題意得到方程，求得k=-6，于是得到結(jié)論；
（3）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，$\frac{6}{a}$），過點(diǎn)C作CD∥x軸交直線AB于D，得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為$\frac{6}{a}$，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{6}{a}$-5，$\frac{6}{a}$），得到CD=a-（$\frac{6}{a}$-5），解方程組得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，-1），求得點(diǎn)B到CD的距離為$\frac{6}{a}$-（-1），根據(jù)三角形的面積列方程得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵當(dāng)x＞1時(shí)，y₁＞y₂；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y₁＜y₂，
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，
代入反比例函數(shù)解析式，$\frac{6}{1}$=y，
解得y=6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，6），
又∵點(diǎn)A在一次函數(shù)圖象上，
∴1+m=6，
解得m=5，
∴一次函數(shù)的解析式為y₁=x+5；

（2）設(shè)過A點(diǎn)的直線的解析式為y=kx+b，
把A（1，6）代入得6=k+b，
∴b=6-k，
∴直線的解析式為y=kx+6-k，
∵過A點(diǎn)的直線與雙曲線y₂=$\frac{6}{x}$的圖象有唯一公共點(diǎn)，
∴kx+6-k=$\frac{6}{x}$，
整理得，kx²+（6-k）x-6=0，
∴△=（6-k）²+24k=0，
解得：k=-6，
∴過A點(diǎn)的直線的解析式為y=-6x+12；

（3）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，$\frac{6}{a}$），
過點(diǎn)C作CD∥x軸交直線AB于D，
則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為$\frac{6}{a}$，
∴x+5=$\frac{6}{a}$，
解得x=$\frac{6}{a}$-5，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{6}{a}$-5，$\frac{6}{a}$），
∴CD=a-（$\frac{6}{a}$-5），
點(diǎn)A到CD的距離為6-$\frac{6}{a}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+5}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-6}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，-1），
∴點(diǎn)B到CD的距離為$\frac{6}{a}$-（-1），
S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$×[a-（$\frac{6}{a}$-5）]（$\frac{6}{a}$+1+6-$\frac{6}{a}$）=14，
解得a=2，a=-3，
∴C（2，3）或（-1，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，根據(jù)已知條件先判斷出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．