Question

19．已知△ABC中，AD=CD，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，AD與CE相交于F點(diǎn)，且AE=$\frac{1}{2}$CF．求證：CE平分∠ACB．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到∠ADC=∠ADB=∠BEC=90°，由余角的性質(zhì)得到∠BAD=∠DCF，推出△ABD≌△CDF，得到AB=CF，等量代換得到AE=$\frac{1}{2}$AB，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 證明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADC=∠ADB=∠BEC=90°，
∴∠DCF+∠B=∠BAD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠DCF，
在△ABD與△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CDF}\\{AD=CD}\\{∠BAD=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDF，
∴AB=CF，
∵AE=$\frac{1}{2}$CF，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，
∴AC=BC，
∴CE平分∠ACB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．