Question

9．如圖，已知在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，將△ABC沿對角線AC翻折，點B落在點E處，聯(lián)結(jié)DE，則DE的長為$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先過E作EF⊥AD于F，設(shè)CG=Ax，則DG=8-x，在Rt△CDG中，根據(jù)DG²+CD²=CG²，得到（8-x）²+4²=x²，求得AG=5，再根據(jù)EF=$\frac{AE×EG}{AG}$=$\frac{12}{5}$，運用勾股定理求得AF和DF的長，即可得到DE的長．

解答 解：如圖所示，過E作EF⊥AD于F，
由折疊可得，∠ACB=∠ACE，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠CAD=∠ACE，
∴CG=AG，
設(shè)CG=Ax，則DG=8-x，
∵Rt△CDG中，DG²+CD²=CG²，
∴（8-x）²+4²=x²，
解得x=5，
∴AG=5，
∴Rt△AEG中，EG=$\sqrt{A{G}^{2}-A{E}^{2}}$=3，
∵EF⊥AG，∠AEG=90°，
∴EF=$\frac{AE×EG}{AG}$=$\frac{12}{5}$，
∴Rt△AEF中，AF=$\sqrt{A{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴DF=8-$\frac{16}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∴Rt△DEF中，DE=$\sqrt{E{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{12}{5}\sqrt{5}$．
故答案為：$\frac{12}{5}\sqrt{5}$．

點評 本題屬于折疊問題，主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的綜合應(yīng)用，解題時注意面積法以及方程思想的運用．本題也可以運用相似三角形的性質(zhì)進行求解．