Question

4．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AD，對角線BD為⊙O的直徑，AC與BD交于點E．點F為CD延長線上，且DF=BC．
（1）證明：AC=AF；
（2）若AD=2，AF=$\sqrt{3}$+1，求AE的長；
（3）若EG∥CF交AF于點G，連接DG．證明：DG為⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O證得△ABC≌△ADF，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等證得AC=AF；    
（2）根據(jù)（1）得，AC=AF=$\sqrt{3}+1$，證得△ADE∽△ACD，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，代入數(shù)值求得AE的長即可；
（3）首先根據(jù)平行線等分線段定理得到AG=AE，然后證得△ADG∽△AFD，從而證得GD⊥BD，利用“經(jīng)過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線”證得DG為⊙O的切線即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADF．                          
在△ABC與△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}AB=AD\\∠ABC=∠ADF\\ BC=DF\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADF．
∴AC=AF；    
                                           
（2）解：由（1）得，AC=AF=$\sqrt{3}+1$．      
∵AB=AD，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AD}$．
∴∠ADE=∠ACD．
∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD．  
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$．
∴$AE=\frac{{A{D^2}}}{AC}=\frac{2^2}{{\sqrt{3}+1}}=\frac{{4（{\sqrt{3}-1}）}}{2}=2\sqrt{3}-2$；

（3）證明：∵EG∥CF，
∴$\frac{AG}{AE}=\frac{AF}{AC}=1$．
∴AG=AE．
由（2）得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{AD}{AF}=\frac{AG}{AD}$．
∵∠DAG=∠FAD，
∴△ADG∽△AFD．        
∴∠ADG=∠F．
∵AC=AF，
∴∠ACD=∠F．
又∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ADG=∠ABD．                   
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°．
∴∠ABD+∠BDA=90°．
∴∠ADG+∠BDA=90°．
∴GD⊥BD．
∴DG為⊙O的切線．

點評 本題考查了四邊形的綜合知識，還考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性比較強，特別是（3）中利用平行線等分線段定理證得AG=AE更是解答本題的關(guān)鍵，難度中等．