Question

16．如圖，PA為⊙O的切線，A為切點．過A作OP的垂線AB，垂足為點C，交⊙O于點B．延長BO與⊙O交于點D，與PA的延長線交于點E．
（1）求證：PB為⊙O的切線；
（2）若OC=1，AB=2$\sqrt{3}$，求圖中陰影部分的面積S；
（3）若$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{4}$，求sinE的值．

Answer 1

分析 （1）連接OA，證明△PBO≌△PAO，則∠PBO=∠PAO=90°，于是證明PB為⊙O的切線；
（2）由S_陰影=S_△OAE-S_扇形OAD，分別求出S_△OAE、S_扇形OAD即可；
（3）連接AD，由△ADE∽△POE，求出$\frac{EA}{EP}=\frac{AD}{OP}$，由$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{4}$，得到EP=2PA，因為PA=PB，所以EP=2PB，進而求出sinE．

解答 解：（1）連接OA，
∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
∴△PBO≌△PAO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB為⊙O的切線．
（2）∵OP⊥AB，
∴BC=AC=$\sqrt{3}$，
在Rt△OBC中，由tan∠BOC=$\sqrt{3}$知，∠BOC=60°，
則∠BOA=120°，OB=2，
∴Rt△OAE中，∠AOE=60°，OA=2
∴AE=2$\sqrt{3}$
S_陰影=S_△OAE-S_扇形OAD=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60}{360}$×π×2²=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π
（3）連接AD，
∵BD是直徑，∠BAD=90°，
由（1）知∠BCO=90°，
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴$\frac{EA}{EP}=\frac{AD}{OP}$，
∵AD∥OC，
∴AD=2OC，
∵$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{4}$，
∴OP=4OC，
設(shè)OC=t，則AD=2t，OP=4t
∴$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
∴EA=AP，
∴EP=2PA，
∵PA=PB，
∴EP=2PB，
∴sinE=$\frac{PB}{EP}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了切線的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠通過作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的直角三角形中，是解答此題的關(guān)鍵要證某線是圓的切線，對于切線的判定：已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．