Question

13．如圖，在△ABC中，I是△ABC的內(nèi)心，O是AB邊上一點，⊙O經(jīng)過B點且與AI相切于I點．若tan∠BAC=$\frac{24}{7}$，則sin∠C的值為（　�。�

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 延長AI交BC于D，連結(jié)OI，作BH⊥AC于H，如圖，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得∠OBI=∠DBI，則可證明OI∥BD，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OI⊥AI，則BD⊥AD，加上AI平分∠BAC，所以△ABC為等腰三角形，得到AB=AC，接著在Rt△ABH中，利用正切的定義得到tan∠BAH=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{24}{7}$，于是可設BH=24x，AH=7x，利用勾股定理得到AB=25x，則AC=AB=25x，CH=AC-AH=18x，然后在Rt△BCH中，利用勾股定理計算出BC=30x，再利用正弦的定義計算sinC的值．

解答 解：延長AI交BC于D，連結(jié)OI，作BH⊥AC于H，如圖，
∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴BI平分∠ABC，即∠OBI=∠DBI，
∵OB=OI，
∴∠OBI=∠OIB，
∴∠DBI=∠OIB，
∴OI∥BD，
∵AI為⊙O的切線，
∴OI⊥AI，
∴BD⊥AD，
∵AI平分∠BAC，
∴△ABC為等腰三角形，
∴AB=AC，
在Rt△ABH中，tan∠BAH=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{24}{7}$，
設BH=24x，AH=7x，
∴AB=$\sqrt{B{H}^{2}+A{H}^{2}}$=25x，
∴AC=AB=25x，
∴CH=AC-AH=25x-7x=18x，
在Rt△BCH中，BC=$\sqrt{C{H}^{2}+B{H}^{2}}$=30x，
∴sinC=$\frac{BH}{BC}$=$\frac{24x}{30x}$=$\frac{4}{5}$．
故選B．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．