Question

17．在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)是（0，6），M點(diǎn)坐標(biāo)是（8，0）．P是射線AM上一點(diǎn)，PB⊥x軸，垂足為B．設(shè)AP=A．
（1）AM=10；
（2）如圖，以AP為直徑作圓，圓心為點(diǎn)C．若⊙C與x軸相切，求A的值；
（3）D是x軸上一點(diǎn)，連接AD、PD．若△OAD∽△BDP，試探究滿足條件的點(diǎn)D的個(gè)數(shù)（直接寫出點(diǎn)D的個(gè)數(shù)及相應(yīng)A的取值范圍，不必說明理由）．

Answer 1

分析 （1）直接利用勾股定理計(jì)算AM的長(zhǎng)；
（2）作CQ⊥x軸于Q，如圖，利用切線的性質(zhì)得CQ=$\frac{1}{2}$AP=a，再證明△CQM∽△AOM，然后利用相似比可計(jì)算出a的值；
（3）利用△OAD∽△BDP得到∠OAD=∠BDP，則可證明∠ADP=90°，于是根據(jù)圓周角定理的推論可判斷點(diǎn)D在以AP為直徑的圓上，利用（2）問的結(jié)論討論：當(dāng)0＜a＜$\frac{15}{2}$時(shí)，⊙C與x軸相離，沒有公共點(diǎn)；當(dāng)a=$\frac{15}{2}$時(shí)，⊙C與x軸相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，；當(dāng)a＞$\frac{15}{2}$且a≠10時(shí)，⊙C與x軸相交，有2個(gè)公共點(diǎn)．

解答 解：：（1）∵A點(diǎn)坐標(biāo)是（0，6），M點(diǎn)坐標(biāo)是（8，0），
∴OA=6，OM=8，
∴AM=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10；
故答案為10；

（2）作CQ⊥x軸于Q，如圖，
∵⊙C與x軸相切，
∴CQ=$\frac{1}{2}$AP=a，
∵CQ∥AO，
∴△CQM∽△AOM，
∴$\frac{CQ}{AO}$=$\frac{MC}{MA}$，即$\frac{\frac{1}{2}a}{6}$=$\frac{10-\frac{1}{2}a}{10}$，解得a=$\frac{15}{2}$；

（3）∵△OAD∽△BDP，
∴∠OAD=∠BDP，
而∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠ADO+∠BDP=90°，
∴∠ADP=90°，
∴點(diǎn)D在以AP為直徑的圓上，
當(dāng)0＜a＜$\frac{15}{2}$時(shí)，⊙C與x軸相離，沒有公共點(diǎn)，所以滿足條件的D點(diǎn)有0個(gè)；
當(dāng)a=$\frac{15}{2}$時(shí)，⊙C與x軸相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以沒滿足條件的D點(diǎn)有1個(gè)；
當(dāng)a＞$\frac{15}{2}$且a≠10時(shí)，⊙C與x軸相交，有2個(gè)公共點(diǎn)，所以滿足條件的D點(diǎn)有2個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系；會(huì)利用相似三角形的知識(shí)和勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)．理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．