Question

10．在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+6經(jīng)過點A（6，0）、B（2，0），與y軸交于點C，點P（x，y）是拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過P作PM∥y軸交x軸于點M，若△AMP∽△COB，請求出點P的坐標；
（3）設⊙N過A、B、C三點，試在y軸上找一點D，使D到N點與A點的距離差最大，并請求出這個最大值．

Answer 1

分析 （1）把A（6，0）、B（2，0）分別代入解析式得到方程組，直接解答即可；
（2）設P點坐標為（x，$\frac{1}{2}$x²-4x+6），根據(jù)△AMP∽△COB，得到$\frac{MP}{OB}$=$\frac{AM}{CO}$，列方程求出x的值即可；
（3）可見D₁A-D₁N＞AN，當D、A、N三點共線時，AN最大．作FN⊥CB，垂足為F，NE⊥AB，垂足為E．根據(jù)垂徑定理，F(xiàn)為BC中點．求出點N坐標，從而求出AN解析式，然后求出D點坐標，利用勾股定理求出AN即可．

解答 解：（1）把A（6，0）、B（2，0）分別代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+6=0}\\{4a+2b+6=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
則函數(shù)的解析式是：y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6．
（2）如圖1，設P點坐標為（x，$\frac{1}{2}$x²-4x+6），
∵△AMP∽△COB，
∴$\frac{MP}{OB}$=$\frac{AM}{CO}$，
∴$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x-6}{2}$=$\frac{6-x}{6}$，
整理得，3x²-26x+48=0，
（x-6）（3x-8）=0
解得x₁=6（舍去），x₂=$\frac{8}{3}$．
當x=$\frac{8}{3}$時，y=-$\frac{10}{9}$，
可得P（$\frac{8}{3}$，-$\frac{10}{9}$）．
如圖2，設P點坐標為（x，$\frac{1}{2}$x²-4x+6），
∵△AMP∽△COB，
∴$\frac{MP}{OB}$=$\frac{AM}{CO}$，
$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+6}{2}$=$\frac{6-x}{6}$，
整理得3x²-22x+24=0
（x-6）（3x-4）=0，
解得x₁=6（舍去），x₂=$\frac{4}{3}$．
當x=$\frac{4}{3}$時，y=$\frac{14}{9}$．
可得P（$\frac{4}{3}$，$\frac{14}{9}$）．
（3）如圖3，可見，D₁A-D₁N＞AN，當D、A、N三點共線時，AN最大．
作FN⊥CB，垂足為F，NE⊥AB，垂足為E．根據(jù)垂徑定理，F(xiàn)為BC中點．
易得，F(xiàn)坐標為（1，3）．設BC解析式為y=kx+b，
把（2，0），（0，6）分別代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}2k+b=0\\ b=6\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}k=-3\\ b=6\end{array}\right.$，
函數(shù)解析式為y=-3x+6．
∵FN和BC垂直，
∴FN的比例系數(shù)為$\frac{1}{3}$，
設FN的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+c，
把F（1，3）代入y=$\frac{1}{3}$x+c得，c=$\frac{8}{3}$，
∴y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{8}{3}$，
又∵E點坐標為（$\frac{2+6}{2}$，0），即（4，0），
當x=4時，y=$\frac{4}{3}$+$\frac{8}{3}$=4，
N（4，4），
設AN解析式為y=mx+n，
把A（6，0），N（4，4）分別代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}4m+n=4\\ 6m+n=0\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}m=-2\\ n=12\end{array}\right.$，
則函數(shù)AN解析式為y=-2x+12，
當x=0時，y=12，
D點坐標為（0，12），
AN=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象交點的求法、相似三角形的性質等知識點有機結合在一起，是一道非常精彩的題目．（2）要進行分類討論．