Question

8．如圖，P為等邊△ABC外一點，AH垂直平分PC于點H，∠BAP的平分線交PC于點D．
（1）求證：DP=DB；
（2）求證：DA+DB=DC；
（3）若等邊△ABC邊長為$\sqrt{14}$，連接BH，當△BDH為等邊三角形時，請直接寫出CP的長度．

Answer 1

分析 （1）首先由等邊三角形的性質易得AB=AC=BC，由垂直平分線的性質易得AP=AC，等量代換可得AP=AB，由SAS定理可證得△PAD≌△BAD，利用全等三角形的性質可得結論；
（2）在CP上截CQ=PD，證明△ACQ≌△APD，等量代換，證得△ADQ為等邊三角形，得出結論；
（3）連接BH，延長AD交PB于E，根據PA=AB，AD是角平分線得出AE⊥PB，且平分PB，由△BDH為等邊三角形，PD=BD，易得出BD=DH=BH，∠BPH=30°，解直角三角形得出DE=$\frac{1}{2}$PD，PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PD，因為PD=$\frac{1}{4}$PC，AD+DB=DC，得出AD=HC=$\frac{1}{2}$PC，進而得出PE=$\frac{\sqrt{3}}{8}$PC，AE=$\frac{5}{8}$PC，然后根據勾股定理得出（$\sqrt{14}$）²=（$\frac{5}{8}$PC）²+（$\frac{\sqrt{3}}{8}$PC）²，即可求得PC的長．

解答 （1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=BC，
∵AH垂直平分PC，
∴AP=AC，
∴AP=AB，
在△PAD與△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DA}\\{∠PAD=∠BAD}\\{AP=AB}\end{array}\right.$，
∴△PAD≌△BAD（SAS），
∴DP=DB；

（2）證明：如圖1，在CP上截CQ=PD，
∵AP=AC，
∴∠APD=∠ACQ，
在△ACQ與△APD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AC}\\{∠APD=∠ACQ}\\{PD=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ACQ≌△APD（SAS），
∴∠PAD=∠CAQ，
∵∠PAD=BAD，
∴∠CAQ=∠BAD，
∴∠CAQ+∠BAQ=∠BAD+∠BAQ=∠DAQ=60°，
∵AD=AQ，PD=CQ=DB，
∴△ADQ為等邊三角形，
∴DA=DQ，
∴DA+DB=DQ+CQ=CD；
（3）解：如圖2，連接BH，延長AD交PB于E，
∵△BDH為等邊三角形，
∴BD=DH=BH，∠BHD=60°，
∵DP=DB，
∴DP=DB=DH=BH，
∴BH=$\frac{1}{2}$PH，
∴△PBH是直角三角形，
∴∠BPH=30°，
∵AD是∠PAB的平分線，PA=AB，
∴AD⊥PB，
∴DE=$\frac{1}{2}$PD，PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PD，
∵PD=DH=DB，PH=CH，AD+DB=DC，
∴PD=DH=$\frac{1}{4}$PC，AD=CH=$\frac{1}{2}$PC，
∴DE=$\frac{1}{8}$PC，PE=$\frac{\sqrt{3}}{8}$PC，
∴AE=AD+DE=$\frac{1}{2}$PC+$\frac{1}{8}$PC=$\frac{5}{8}$PC，
在RT△PAE中，PA²=AE²+PE²，
∴（$\sqrt{14}$）²=（$\frac{5}{8}$PC）²+（$\frac{\sqrt{3}}{8}$PC）²，
∴PC=4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，線段的垂直平分線的性質，等邊三角形的性質，解直角三角形，勾股定理的應用等，作出輔助線構建全等三角形和直角三角形是解題的關鍵．