Question

20．如圖（1），已知拋物線y=ax²+bx-3的對稱軸為x=1，與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，一次函數(shù)y=x+1經(jīng)過A，且與y軸交于點D．

（1）求該拋物線的解析式．
（2）如圖（2），點P為拋物線B、C兩點間部分上的任意一點（不含B，C兩點），設點P的橫坐標為t，設四邊形DCPB的面積為S，求出S與t的函數(shù)關系式，并確定t為何值時，S取最大值？最大值是多少？
（3）如圖（3），將△ODB沿直線y=x+1平移得到△O′D′B′，設O′B′與拋物線交于點E，連接ED′，若ED′恰好將△O′D′B′的面積分為1：2兩部分，請直接寫出此時平移的距離．

Answer 1

分析 （1）先求得點A的坐標，然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標，然后求得點C的坐標，設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將C（0，-3）代入求得a的值即可；
（2）連結OP．先求得點D的坐標，從而可得到OD的長，設P（t，t²-2t-3），然后依據(jù)四邊形DCPB的面積=△ODB的面積+△OBP的面積+△OCP的面積可得到S與t的函數(shù)關系式，利用配方法可求得S的最大值以及對應的t的值；
（3）設點D′的坐標為（a，a+1），O′（a，a），當△D′O′E的面積：D′EB′的面積=1：2時，E（a+1，a），將點E的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到O′的坐標，然后求得OO′的長即可，當△D′O′E的面積：D′EB′的面積=2：1時，E（a+2，a），同理可求得OO′的長，從而可得到△B′O′D′平移的距離．

解答 解：（1）把y=0代入直線的解析式得：x+1=0，解得x=-1，
∴A（-1，0）．
∵拋物線的對稱軸為x=1，
∴B的坐標為（3，0）．
將x=0代入拋物線的解析式得：y=-3，
∴C（0，-3）．
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將C（0，-3）代入得：-3a=-3，解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）如圖1所示：連結OP．

將x=0代入直線AD的解析式得：y=1，
∴OD=1．
由題意可知P（t，t²-2t-3）．
∵四邊形DCPB的面積=△ODB的面積+△OBP的面積+△OCP的面積，
∴S=$\frac{1}{2}$×3×1+$\frac{1}{2}$×3×（-t²+2t+3）+$\frac{1}{2}$×3×t，整理得：S=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t+6．
配方得：S=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$．
∴當t=$\frac{3}{2}$時，S取得最大值，最大值為$\frac{75}{8}$．

（3）如圖2所示：

設點D′的坐標為（a，a+1），O′（a，a）．
當△D′O′E的面積：D′EB′的面積=1：2時，則O′E：EB′=1：2．
∵O′B′=0B=3，
∴O′E=1．
∴E（a+1，a）．
將點E的坐標代入拋物線的解析式得：（a+1）²-2（a+1）-3=a，整理得：a²-a-4=0，解得：a=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或a=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$．
∴O′的坐標為（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．
∴OO′=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{34}}{2}$或OO′=$\frac{\sqrt{34}-\sqrt{2}}{2}$．
∴△DOB平移的距離為$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{34}}{2}$或$\frac{\sqrt{34}-\sqrt{2}}{2}$．
當△D′O′E的面積：D′EB′的面積=2：1時，則O′E：EB′=2：1．
∵O′B′=0B=3，
∴O′E=2．
∴E（a+2，a）．
將點E的坐標代入拋物線的解析式得：（a+2）²-2（a+2）-3=a，整理得：a²-a-4=0，解得：a=$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$或a=$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$．
∴O′的坐標為（$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$）或（$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$）．
∴OO′=$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$或OO′=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$．
∴△DOB平移的距離為$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$．
綜上所述，當△D′O′B′沿DA方向平移$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{34}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$單位長度，或沿AD方向平移$\frac{\sqrt{34}-\sqrt{2}}{2}$或$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{26}}{2}$個單位長度時，ED′恰好將△O′D′B′的面積分為1：2兩部分．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質、平移與坐標變換，依據(jù)四邊形DCPB的面積=△ODB的面積+△OBP的面積+△OCP的面積列出S與t的函數(shù)關系式是解答問題（2）的關鍵，用含a的式子表示出點E的坐標是解答問題（3）的關鍵．