Question

3．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+4經(jīng)過點(diǎn)D（2，4），且與x軸交于A（3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，CD，BC
（1）直接寫出該拋物線的解析式
（2）點(diǎn)P是所求拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線l，l分別交x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)M．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)0≤m≤2時(shí)，過點(diǎn)M作MG∥BC，MG交x軸于點(diǎn)G，連接GC，則m為何值時(shí)，△GMC的面積取得最大值，并求出這個(gè)最大值
②當(dāng)-1≤m≤2時(shí)，試探求：是否存在實(shí)數(shù)m，使得以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似？若存在，求出相應(yīng)的m值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得a、b的值，可求得拋物線線的解析式；
（2）①由A、C坐標(biāo)可求得直線AC解析式，再用m表示出點(diǎn)M坐標(biāo)，表示出ME，再由△BCO∽△GME可表示出GE，求得OG，再利用面積的和差可得到△GMC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；②分∠CPM=90°和∠PCM=90°兩種情況，當(dāng)∠CPM=90°時(shí)，可得PC∥x軸，容易求得P點(diǎn)坐標(biāo)和m的值；當(dāng)∠PCM=90°時(shí)，設(shè)PC交x軸于點(diǎn)F，可利用相似三角形的性質(zhì)先求得F點(diǎn)坐標(biāo)，可求得直線CF的解析式，再聯(lián)立拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)和相應(yīng)的m的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于A（3，0），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+4=0}\\{a-b+4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4；
（2）①如圖1，過M作ME⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，

由A（3，0），C（0，4）可得直線AC解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴M坐標(biāo)為（m，-$\frac{4}{3}$m+4），
∵M(jìn)G∥BC，
∴∠CBO=∠MGE，且∠COB=∠MEG=90°，
∴△BCO∽△GME，
∴$\frac{CO}{ME}$=$\frac{BO}{GE}$，即$\frac{4}{-\frac{4}{3}m+4}$=$\frac{1}{GE}$，
∴GE=-$\frac{1}{3}$m+1，
∴OG=OE-GE=$\frac{4}{3}$m-1，
∴S_△COM=S_梯形COGM-S_△COG-S_△GEM=$\frac{1}{2}$m（-$\frac{4}{3}$m+4+4）-4×（$\frac{4}{3}$m-1）×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{3}$m+1）（-$\frac{4}{3}$m+4）=-$\frac{8}{9}$m²+$\frac{8}{3}$m=-$\frac{8}{9}$（m-$\frac{3}{2}$）²+2，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，S最大，即S_最大=2；
②根據(jù)題意可知△AEM是直角三角形，而△MPC中，∠PMC=∠AME為銳角，
∴△PCM的直角頂點(diǎn)可能是P或C，
第一種情況：當(dāng)∠CMPM=90°時(shí)，如圖2，

則CP∥x軸，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，
∴點(diǎn)P（2，4），此時(shí)m=2；
第二種情況：當(dāng)∠PCM=90°時(shí)，如圖3，

設(shè)PC交x軸于點(diǎn)F，由△FCA∽△COA，得$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AC}{AO}$，
∴AF=$\frac{25}{3}$，
∴OF=$\frac{25}{3}$-3=$\frac{16}{3}$，
∴F（-$\frac{16}{3}$，0），
∴直線CF的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+4，
聯(lián)立直線CF和拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+4}\\{y=-\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{23}{16}}\\{{y}_{2}=\frac{325}{64}}\end{array}\right.$，
∴P坐標(biāo)為（$\frac{32}{16}$，$\frac{325}{64}$），此時(shí)m=$\frac{23}{16}$；
綜上可知存在滿足條件的實(shí)數(shù)m，其值為2或$\frac{23}{16}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)等．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）①中用M表示出OG，進(jìn)一步表示出△GMC的面積是解題的關(guān)鍵，在（2）②中注意分兩種情況進(jìn)行討論．本題涉及知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．