Question

5．△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BC=$\sqrt{3}$．如圖，若AC是⊙O的直徑，∠BAC=60°，延長BA到點D，使得DA=$\frac{1}{2}$BA，過點D作直線l⊥BD，垂足為點D，請將圖形補充完整，判斷直線l和⊙O的位置關(guān)系并說明理由．

Answer 1

分析 作OF⊥l于F，CE⊥l于E，設(shè)AD=a，則AB=2AD=2a，只要證明OF是梯形ADEC的中位線即可解決問題．

解答 解：圖形如圖所示，直線l與⊙O相切．

理由：作OF⊥l于F，CE⊥l于E，
∵AC是直徑，
∴∠ABC=90°，
∵l⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∵OF⊥l，CE⊥l，
∴AD∥OF∥CE，
∵AO=OC，
∴DF=FE，
∴OF=$\frac{1}{2}$（AD+CE），
設(shè)AD=a，則AB=2AD=2a，
∵∠ABC=∠BDE=∠CED=90°，
∴四邊形BDEC是矩形，
∴CE=BD=3a，
∴OF=2a，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2a，
∴AC=4a，
∴OF=OA=2a，
∴直線l是⊙O切線．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系、圖形中位線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，要證明切線的方法有兩種，一是連半徑，證垂直，二是作垂直，正半徑，此題則是運用第二種方法．