Question

7．如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中點，DF⊥AE，點F是垂足．
（1）求證：△ABE∽△DFA；
（2）求S_△DFA和S_{四邊形CDFE}．

Answer 1

分析 （1）已經(jīng)有一對直角相等，只需再找一對銳角對應(yīng)相等即可，由AD∥BC得∠1=∠2，問題得證；
（2）首先求出AF，DF的長，再利用四邊形CDFE的面積=正方形面積-兩個直角三角形面積得出答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
∴△ABE∽△DFA；

（2）解：∵AB=2，E是BC的中點，
∴BE=1，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$
∵△ABE∽△DFA，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AF}{BE}$=$\frac{DF}{BA}$，
∴$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{AF}{1}$=$\frac{DF}{2}$，
∴AF=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，DF=$\frac{4}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴S_△DFA=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$，
∴S_{四邊形CDFE}=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△DFA=2²-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=2.2．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，涉及分割法求圖形的面積問題，有一定的綜合性，難度中等．