Question

1．如圖，AB為⊙O的直徑，點D，E為⊙O上的兩個點，延長AD至C，使∠CBD=∠BED．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）當點E為弧AD的中點且∠BED=30°時，⊙O半徑為2，求DF的長度．

Answer 1

分析 （1）由AB為⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠E，得到AB⊥BC，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠E=∠CBD=30°，得到∠DBA=60°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠DBA=90°，
∵$\widehat{BD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠A=∠E，
∵∠CBD=∠E，
∴∠CBD=∠A，
∴∠CBD+∠DBA=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線，

（2）解：∵∠BED=30°，
∴∠A=∠E=∠CBD=30°，
∴∠DBA=60°，
∵點E為弧AD的中點，
∴∠EBD=∠EBA=30°，
∵⊙O半徑為2，
∴AB=4，BD=2，AD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BDF中，∠DBF=90°，
tan∠DBF=$\frac{DF}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴DF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，圓周角定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．