Question

17．探究：研究表明，一元二次方程的根與系數(shù)有如下關(guān)系：設(shè)x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．
設(shè)x₁、x₂是一元二次方程2x²-3x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，請(qǐng)你利用上述關(guān)系式，完成下列各題（不必解方程）：
（1）x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$．
（2）利用（1）中的結(jié)果，求下列代數(shù)式的值（要求簡(jiǎn)要的寫出計(jì)算過(guò)程）．
①$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$                       ②x₁²+x₂²．

Answer 1

分析 （1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出所求式子值即可；
（2）原式各項(xiàng)變形后，將（1）的結(jié)果代入計(jì)算即可求出值．

解答 解：（1）∵x₁、x₂是一元二次方程2x²-3x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$；
故答案為：$\frac{3}{2}$；-$\frac{1}{2}$；
（2）①原式=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-3；②原式=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$\frac{9}{4}$+1=$\frac{13}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．