Question

7．已知：正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn)，EF⊥BC于F，EG⊥CD于點(diǎn)G
（1）如圖1，試確定AE與DG的關(guān)系A(chǔ)E=$\sqrt{2}$DG．
（2）將四邊形EFCG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α．
①如圖2，AE與DG的數(shù)量關(guān)系與（1）中比較是否發(fā)生變化？試說明理由．
②當(dāng)0°＜α＜360°時(shí)，直線BE與直線CD交于點(diǎn)M，若只考慮線段BE與線段CD相交和BE的延長線與DC的延長線相交的情況，則當(dāng)α為多少度時(shí)S_△BNC=S_△DME（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)E作EP⊥AD，根據(jù)矩形EGDP得出EP=DG，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AE=$\sqrt{2}$EP，可得AE與DG的關(guān)系；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，再證明△ACE∽△DCG，進(jìn)而得出AE與DG的關(guān)系不變化即可；
（3）通過作出旋轉(zhuǎn)的圖示，即可得出當(dāng)S_△BNC=S_△DME時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角度是90°和270°．

解答 解：（1）過點(diǎn)E作EP⊥AD，如圖1，

∵正方形ABCD，
∴∠ACD=∠AFP=45°，
∴AE=$\sqrt{2}$PE，
∵PE=DG，
∴AE=$\sqrt{2}$DG；
故填：AE=$\sqrt{2}$DG；
（2）不變化，理由如下：
∵四邊形ABCD和四邊形EFCG是正方形，
∴∠ACD=∠ECG=45°，
∴∠ACD-∠ECD=∠ECG-∠ECD，
即∠ACE=∠DCG，
∵在正方形ABCD和正方形EFCG中，
AC=$\sqrt{2}$CD，EC=$\sqrt{2}$CG，
∴$\frac{AC}{DC}=\frac{EC}{GC}=\sqrt{2}$，
∴△ACE∽△DCG，
∴$\frac{AC}{DC}=\frac{EC}{GC}=\frac{AE}{DG}=\sqrt{2}$，
即AE=$\sqrt{2}$DG；
（3）當(dāng)線段BE與線段CD相交交于點(diǎn)M，此時(shí)四邊形EFCG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度α為90°，如圖2，

∵正方形ABCD和正方形EFCG，
∴BC=CD，EF=CF，
∴S_△BCE=S_△DCE，
∴S_△BCE-S_△CME=S_△DCE-S_△CME，
∴S_△BCM=S_△DME；
當(dāng)BE的延長線與DC的延長線相交點(diǎn)N時(shí)，此時(shí)四邊形EFCG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度α為270°，如圖3，

∵正方形ABCD和正方形EFCG，
∴BC=CD，EF=CF，
∴S_△BCE=S_△DCE，
∴S_△BCE-S_△CNE=S_△DCE-S_△CNE，
∴S_△BCN=S_△DNE．

點(diǎn)評(píng) 此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分析解答．注意旋轉(zhuǎn)的兩種情況分析．