Question

20．如圖，△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=5$\sqrt{3}$，點D從A出發(fā)沿AB以每秒2個單位的速度向點B勻速運動，同時，點E從B出發(fā)沿BC以每秒1個單位的速度向點C勻速運動．當一個點到達終點時，另一個點也停止運動．設點D、E運動的時間為t（t＞0），作DF⊥AC于F，連DE、EF．
（1）求證：BE=DF
（2）當t為多少時，四邊形BEFD為菱形？說明理由
（3）當t=$\frac{5}{2}$秒或4秒時，△DEF為直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先根據動點的速度、時間表示路程：AD=2t，EB=t，再根據三角函數值求∠A=30°，則DF=t，可得結論；
（2）先根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形BEFG為平行四邊形，若使?AEFD為菱形則需要滿足的條件：DF=BD，列方程可求得結論；
（3）①∠EDF=90°時，證明四邊形ECFD為矩形，根據DF=CE列式求得；
②∠DEF=90°時，由（2）知EF∥AD，則得∠ADE=∠DEF=90°，根據BE=2BD列式求得；
③∠EFD=90°時，此種情況不存在．

解答 （1）證明：如圖1，由題意得：AD=2t，EB=t，
在Rt△ACB中，tan∠A=$\frac{BC}{AC}=\frac{5}{5\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$AD=t，
又∵EB=t，
∴EB=DF；

（2）解：如圖2，∵AC⊥BC，DF⊥AC，
∴BC∥DF，
又EB=DF，
∴四邊形BEFD為平行四邊形，
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=5，
∴AB=2BC=10，
∴BD=AB-AD=10-2t，
若使?BEFD為菱形，則需DF=BD，
即t=10-2t，t=$\frac{10}{3}$，
即當t=$\frac{10}{3}$時，四邊形BEFD為菱形；

（3）解：△DEF為直角三角形時，要分三種情況：
①如圖3，當∠EDF=90°時，
∴∠EDF=∠C=∠DFC=90°，
∴四邊形ECFD為矩形，
∴DF=CE，
即t=5-t，t=$\frac{5}{2}$；
②如圖4，∠DEF=90°時，
由（2）四邊形EFDB為平行四邊形，
∴EF∥AD，
∴∠BDE=∠DEF=90°，
∴∠B=90°-∠A=60°，
∴∠DEB=90°-60°=30°，
∴BE=2BD，
即t=2（10-2t），t=4，
③∠EFD=90°時，此種情況不存在；
綜上所述，當t=$\frac{5}{2}$秒或4秒時，△DEF為直角三角形．
故答案為：t=$\frac{5}{2}$秒或4秒．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了動點運動問題、菱形的性質和判定、平行四邊形、矩形的性質和判定、三角函數問題，難度適宜，根據不同結論確定其等量關系，列方程可以解決問題．