Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，過點(diǎn)D作DE⊥AB交射線AC于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）線段AE的長為5t．（用含t的代數(shù)式表示）
（2）若△ADE與△ACB的面積比為1：4時(shí)，求t的值．
（3）設(shè)△ADE與△ACB重疊部分圖形的周長為L，求L與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）當(dāng)直線DE把△ACB分成的兩部分圖形中有一個(gè)是軸對稱圖形時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）先在Rt△ABC中求出tanA，再在Rt△ADE中求出DE，最后用勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）方法一：先判斷出△ABC∽△AED，進(jìn)而得出DE=4t，再用三角形的面積公式得出△ADE，△ABC的面積，用面積比建立方程即可得出結(jié)論；
方法二、先判斷出△ABC∽△AED，再用$\frac{{{S_{△ADE}}}}{{{S_{△AC{B_{\;}}}}}}=\frac{1}{4}$，得出$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$．而AC=3，AD=3t，即可得出結(jié)論；  
（3）分兩種情況討論計(jì)算，都是四邊形是軸對稱圖形，用相等的線段建立方程求解即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{3}$
由題意得，AD=3t，
在Rt△ADE中，tanA=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{DE}{3t}$=$\frac{4}{3}$，
根據(jù)勾股定理得，AE=5t．
故答案為5t；
（2）方法一：∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°．∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADE．∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}$．
∵AD=3t，AC=3，BC=4，
∴DE=4t．
∴${S_{△ADE}}=\frac{1}{2}×3t×4t=6{t^2}$．
∵${S_{△ACB}}=\frac{1}{2}×3×4=6$，
∵$\frac{{{S_{△ADE}}}}{{{S_{△AC{B_{\;}}}}}}=\frac{1}{4}$，
∴$6{t^2}=\frac{1}{4}×6$．
∴${t_1}=\frac{1}{2}，{t_2}=-\frac{1}{2}$（舍）
∴t的值為$\frac{1}{2}$．                            
方法二：∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADE．
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∵$\frac{{{S_{△ADE}}}}{{{S_{△AC{B_{\;}}}}}}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$．                
∵AC=3，AD=3t，
∴2×3t=3，t=$\frac{1}{2}$．                    
（3）由（2）得：△ABC∽△AED，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AE}$．
∵AD=3t，
∴DE=4t，AE=5t．BD=5-3t，
∴當(dāng)$0＜t≤\frac{3}{5}$時(shí)，L=3t+4t+5t=12t．
∴L=12t．                        
當(dāng)$\frac{3}{5}＜t≤\frac{5}{3}$時(shí)，如圖，

∵∠B=∠B，∠BDF=∠BCA，
∴△ABC∽△FBD，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{DF}{AC}$．
∵BD=5-3t，
∴$DF=\frac{15}{4}-\frac{9}{4}t$．
∵∠BFD=∠EFC，∠BDF=∠ECF，
∴∠B=∠E，
∵∠FCE=∠BCA
∴△BCA∽△ECF，
∴$\frac{CF}{AC}=\frac{CE}{BC}$．
∵CE=5t-3，
∴$CF=\frac{15}{4}t-\frac{9}{4}$．
$L=3t+3+\frac{15}{4}t-\frac{9}{4}+\frac{15}{4}-\frac{9}{4}t=\frac{9}{2}t+\frac{9}{2}$．
∴$L=\frac{9}{2}t+\frac{9}{2}$．                      
（4）由（1）知，AE=5t，DE=4t，
∴CE=3-5t，
當(dāng)DE=CE時(shí)，四邊形BCED是軸對稱圖形，
∴4t=3-5t，
∴t=$\frac{1}{3}$，
當(dāng)DE和BC相交于F，AD=AC時(shí)，四邊形ACFE是軸對稱圖形，
∵AD=3t，AC=3，
∴3t=3，
∴t=1．
即：滿足條件的時(shí)間t為$\frac{1}{3}$或1．

點(diǎn)評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，軸對稱圖形，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，判斷△ABC∽△AED，是解本題，得到L的函數(shù)關(guān)系式是解本題的難點(diǎn)．