Question

12．如圖，經(jīng)過原點O的拋物線y=ax²-6ax交x軸于點A，頂點B在正比例函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x的圖象上．若點M在直線OB上，點N在拋物線的對稱軸上，求ON+MN的最小值．

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線與x軸的交點問題得到A（6，0），則拋物線的對稱軸為直線x=3，則可確定B（3，4），利用勾股定理可計算出BO=BA=5，作點M關于直線x=3的對稱點M′，直線x=3與x軸的交點為C，如圖，利用BA與BO關于BC對稱得到點M′在BA上，則ON+MN=ON+M′N，接著利用兩點之間線段最短和垂線段最短可得當點O、N、M′共線且垂直AB時，ON+M′N最短，然后利用面積法求出垂線段OM′的長即可．

解答 解：令y=0，ax²-6ax=0，解得x₁=0，x₂=6，則A（6，0），
所以拋物線的對稱軸為直線x=3，
當x=3時，y=$\frac{4}{3}$x=4，則B（3，4），
所以BO=BA=5，
作點M關于直線x=3的對稱點M′，直線x=3與x軸的交點為C，如圖，
因為BA與BO關于BC對稱，
所以點M′在BA上，則ON+MN=ON+M′N，
所以當點O、N、M′共線且垂直AB時，即OM′⊥AB，ON+M′N最短，最短長度為垂線段OM′的長，
而$\frac{1}{2}$OM′•AB=$\frac{1}{2}$BC•OA，
所以OM′=$\frac{24}{5}$，
即ON+MN的最小值為$\frac{24}{5}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．