Question

18．已知△ABC，∠C=90°，AC=4，BC=3．
（1）用尺規(guī)在圖1中作出△ABC的外接圓，在圖2中作出△ABC的內(nèi)切圓．
（2）△ABC的外接圓半徑為2.5，內(nèi)切圓半徑為1．

Answer 1

分析 （1）首先作出AC、BC的垂直平分線，兩線的交點(diǎn)O就是外接圓圓心，再以O(shè)為圓心AO長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓即可；作出∠A、∠B的角平分線，兩線的交點(diǎn)M就是內(nèi)切圓圓心，再過(guò)點(diǎn)M作BC的垂線，交BC于N，再以M為圓心，MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓即可；
（2）利用勾股定理計(jì)算出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得外接圓半徑；設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，由于Rt△ABC的面積為$\frac{1}{2}$AC•CB=$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）×r，從而求得r的值

解答 解：（1）如圖所示：

（2）∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵AO=BO，
∴AO=2.5；
設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，連接CM，
由于Rt△ABC的面積為$\frac{1}{2}×AC×CB$=$\frac{1}{2}×3×4$=6，
則由Rt△ABC的面積為S_△ABM+S_△BMC+S_△AMC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）×r=$\frac{1}{2}$×（3+4+5）×r，
$\frac{1}{2}$×（3+4+5）×r=6，
解得r=1．
故答案為：2.5；1．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了復(fù)雜作圖，以及求內(nèi)切圓和外接圓的半徑，關(guān)鍵是正確確定內(nèi)切圓和外接圓的圓心位置．