Question

20．如圖，矩形ABCO位于直角坐標(biāo)系平面，O為原點(diǎn)，A、C分別在坐標(biāo)軸上，B的坐標(biāo)為（8，5），線段BC上有一動點(diǎn)P，已知點(diǎn)D在第一象限
（1）D是直線y=2x+6上一點(diǎn)，若△APD是等腰直角三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）D是直線y=2x-6上一點(diǎn)，若△APD是等腰直角三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①點(diǎn)D在直線y=2x+6上，分三種情況進(jìn)行討論：①D為直角頂點(diǎn)；②A為直角頂點(diǎn)；③P為直角頂點(diǎn)，分別求出D坐標(biāo)即可；
（2）點(diǎn)D在直線y=2x-6上，也需分三種情況討論；①A為直角頂點(diǎn)；②P為直角頂點(diǎn)；③D為直角頂點(diǎn)，分別結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求出D坐標(biāo)即可．

解答 解：易知：A（0，6），C（8，0），AB=8，OA=BC=6；
則點(diǎn)A正好位于直線y=2x+6上；
（1）當(dāng)點(diǎn)D位于直線y=2x+6上時(shí)，分三種情況：
①點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)D位于第四象限，不合題意；
②點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，那么∠DAP=45°，結(jié)合圖形2可知：∠DAB＞45°，
而點(diǎn)P位于線段BC上，故不存在這樣的等腰直角三角形；
③點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，如圖1；
過D作DE⊥y軸于E，則△ADE≌△APB，得：AE=AB=8；
即點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為14，代入y=2x+6中，可求得點(diǎn)D（4，14）；

（2）當(dāng)點(diǎn)D位于直線y=2x-6上時(shí)，分三種情況：
①點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，結(jié)合圖形2可知，此種情況顯然不合題意；
②點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，分兩種情況：
（i）點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí)，如圖2，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設(shè)D（x，2x-6）；
則OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x；
則△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：
12-2x=8-x，x=4；
∴D（4，2）；
（ii）點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí)，設(shè)D（x，2x-6）；
則OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；
同1可知：△ADE≌△DPF⇒AE=DF，即：
2x-12=8-x，x=$\frac{20}{3}$；
∴D（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$）；
③點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)D位于矩形AOCB的外部，如圖3所示；
設(shè)點(diǎn)D（x，2x-6），則CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；
易證得△APB≌△PDF，得：
AB=PF=8，PB=DF=x-8；
故BF=PF-PB=8-（x-8）=16-x；
聯(lián)立兩個(gè)表示BF的式子可得：
2x-12=16-x，即x=$\frac{28}{3}$；
∴D（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$）；
綜合上面六種情況可得：存在符合條件的等腰直角三角形；
且D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（4，2），（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$），（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$）．

點(diǎn)評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：點(diǎn)的坐標(biāo)、矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰直角三角形以及全等三角形等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用，需要考慮的情況較多，難度較大，熟練掌握性質(zhì)及運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．