Question

3．已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)．
（1）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1），若AE=1，試求AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，在圖2這種情況下，求證AE+CF=EF；
（3）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，在圖3這種情況下，（2）中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AE=CF可以求得BF=BE，易求得∠CBF=30°，即可解題；
（2）將Rt△ABE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，可得FG=CG+CF=AE+CF，易證∠GBF=∠EBF=60°，即可求證△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解題；
（3）將Rt△ABE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，可得FG=CG-CF=AE-CF，易證∠GBF=∠EBF=60°，即可求證△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解題．

解答 證明：（1）如圖1中，

∵Rt△ABE和Rt△CBF中，AB=BC，CF=AE，
∴tan∠CBF=tan∠ABE，BF=BE，
∴∠CBF=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠CBF=30°，△BEF是等邊三角形，
∵AE=CF=1，
∴AB=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$
（2）如圖2，將Rt△ABE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，

∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，
∴BG=BE，F(xiàn)G=CG+CF=AE+CF，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠ABE=∠CBG，
∴∠GBF=60°，
在△GBF和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠GBF=∠EBF=60°}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴FG=EF，
∴EF=AE+CF；

（3）不成立，新結(jié)論為EF=AE-CF．
理由：如圖3，將Rt△ABE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，

∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，∠ABE=∠CBG，
∴BG=BE，F(xiàn)G=CG-CF=AE-CF，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°，
∵∠MBN=60°，
∴∠GBF=60°，
在△BFG和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠GBF=∠EBF=60°}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△BFE，（SAS）
∴GF=EF，
∴EF=AE-CF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，30°角所對(duì)直角邊是斜邊一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，本題中求證△BFG≌△BFE是解題的關(guān)鍵．