Question

17．已知開口向上的拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，頂點坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}a$），連接AC．
（1）如圖1，若AC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$AB，求a的值；
（2）如圖2，點D為拋物線上的點（不與點C重合），連接AD，若∠DAB=∠CAB，求點D到拋物線對稱軸的距離；
（3）在（1）和（2）的條件下，點E在x軸的負半軸上，點F在第一象限的拋物線上，連接EF與AD的延長線相交于點G，過點F作AD的垂線，與x軸相交于點H，當AE=16，F(xiàn)H=AG時，求EH長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點坐標，可得c與a的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)值為零，可得A、B點坐標，根據(jù)勾股定理，可得OC的長，根據(jù)OC的長，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（2）根據(jù)頂點坐標，可得拋物線的對稱軸，根據(jù)等角的正切值相等，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得D點的橫坐標，根據(jù)點到直線的距離，可得答案；
（3）根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠GAM與∠HFN的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AM與FN的關(guān)系，GM與HN的關(guān)系，根據(jù)等角的正切值相等，可得AM與GM的關(guān)系，根據(jù)比例的性質(zhì)，可得EM與EN的關(guān)系，根據(jù)線段的和差，可得ON的長，根據(jù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式，可得n的值，根據(jù)線段的和差，可得答案．

解答 解：（1）∵拋物線頂點坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$a），
∴-$\frac{2a}$=$\frac{3}{2}$，
∴b=-3a
∴$\frac{9}{4}$a+$\frac{3}{2}$（-3a）+c=-$\frac{25}{4}$a，
∴c=-4a
∴y=ax²-3ax-4a，C（0，-4a），
∴OC=4a．
當y=0時，ax²-3ax-4a=0，
∵a≠0∴x²-3x-4=0，
∴x₁=4，x₂=-1，
∴A（4，0）B（-1，0），
∴AB=5
∴AC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$AB=2$\sqrt{5}$，
∵∠AOC=90°，
∴OC²+OA²=AC²，
∴OC=2，
∴4a=2，
∴a=$\frac{1}{2}$；
（2）如圖1過點D作DK⊥x軸于K，
∴∠DKA=90° 令點D坐標為（m，am²-3am-4a），
對稱軸為x=$\frac{3}{2}$．
∴AK=4-m，DK=am²-3am-4a．
∵∠AOC=90°，
∴tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=a
∵∠DAK=∠OAC，
∴tan∠OAC=tan∠DAK=$\frac{DK}{AK}$=a．
∴am²-3am-4a=a（4-m）．
∵a≠0，
∴m²-2m-8=0
∴m₁=4（舍），m₂=-2
∴點D到拋物線對稱軸的距離為$\frac{3}{2}$-（-2）=$\frac{7}{2}$．
（3）如圖2，
過點G作GM⊥x軸于M，過點F作FN⊥x軸于N．
∴∠GMA=∠FNH=90°，
∠FHN+∠HFN=90°，
∵FH⊥AG，
∴∠FHN+∠GAM=90°
∴∠GAM=∠HFN，
在△AGM和△FHN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAM=HFN}\\{∠AMG=∠FNH}\\{AG=FH}\end{array}\right.$，
∴△AGM≌△FHN  （AAS）
∴AM=FN，GM=HN．
∵a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，OC=2，
∵∠GAM=∠OAC，
∴tan∠GAM=tan∠OAC
∴$\frac{GM}{AM}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴AM=2GM．
設(shè)GM=n，則HN=n，F(xiàn)N=AM=2n．
∵tan∠GEM=$\frac{GM}{EM}$=$\frac{FN}{EN}$，
∴$\frac{EN}{EM}$=$\frac{FN}{GM}$=2，
∵AE=16
∴EM=AE-AM=16-2n，
∴EN=2EM=32-4n，
∴AN=EN-AE=16-4n，
∴ON=OA+AN=20-4n，
∴F（20-4n，2n），
∴$\frac{1}{2}$（20-4n）²-$\frac{3}{2}$（20-4n）-2=2n，
∴n₁=6（舍），n₂=$\frac{7}{2}$，
∴EH=EN-HN=32-5n=$\frac{29}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用了頂點坐標公式，勾股定理，銳角三角函數(shù)，點到直線的距離，余角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，知識間的聯(lián)系密切，綜合性強，題目難度大．