Question

10．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=16cm．AD=6cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度向B點移動，一直到達B點為止，點Q以2cm/s的速度向D點移動．
（1）P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm²？
（2）P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點P和點Q之間的距離第一次是10cm？
（3）在運動過程中，點P和點Q之問的距離可能是18cm嗎？如果可能，求出運動時間t，如果不可能，請說明理由．（$\sqrt{2}$取1.4）

Answer 1

分析 （1）設(shè)P、Q兩點從出發(fā)開始到x秒時四邊形PBCQ的面積為33cm²，則PB=（16-3x）cm，QC=2xcm，根據(jù)梯形的面積公式可列方程：$\frac{1}{2}$（16-3x+2x）×6=33，解方程可得解；
（2）作QE⊥AB，垂足為E，設(shè)運動時間為t秒，用t表示線段長，用勾股定理列方程求解；
（3）根據(jù)勾股定理得到矩形ABCD對角線的長，再與18cm比較大小即可作出判斷．

解答 解：（1）設(shè)P、Q兩點從出發(fā)開始到x秒時四邊形PBCQ的面積為33cm²，
則PB=（16-3x）cm，QC=2xcm，
根據(jù)梯形的面積公式得$\frac{1}{2}$（16-3x+2x）×6=33，
解得x=5；
答：P、Q兩點從出發(fā)開始到5秒時四邊形PBCQ的面積為33cm²；

（2）設(shè)P，Q兩點從出發(fā)經(jīng)過t秒時，點P，Q間的距離是10cm，
作QE⊥AB，垂足為E，
則QE=AD=6，PQ=10，
∵PA=3t，CQ=BE=2t，
∴PE=AB-AP-BE=|16-5t|，
由勾股定理，得（16-5t）²+6²=10²，
解得t₁=4.8（舍去），t₂=1.6．
答：從出發(fā)到1.6秒時，點P和點Q的距離是10cm．

（3）∵$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{6}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{292}$＜18，
∴在運動過程中，點P和點Q之問的距離不可能是18cm．

點評 考查了一元二次方程的應(yīng)用，（1）主要用到了梯形的面積公式：S=$\frac{1}{2}$（上底+下底）×高；（2）作輔助線是關(guān)鍵，構(gòu)成直角三角形后，用了勾股定理．