Question

1．如圖1，直線x⊥y，垂足為O，A、B兩點同時從點O出發(fā)，點A以每秒x個單位長度沿直線x向左運動，點B以每秒y個單位長度沿直線y向上運動．
（1）若|x+2y-5|+|2x-y|=0，試分別求出1秒鐘后，線段OA、OB的長．
（2）如圖2，設∠BAO的鄰補角和∠ABO的鄰補角的平分線相交于點P．問：點A、B在運動的過程中，∠P的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由．
（3）如圖3，延長BA至E，在∠ABO的內(nèi)部作射線BF交x軸于點C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分線相交于點G，過點G作BE的垂線，垂足為H，試問∠AGH和∠BGC的大小關系如何？請寫出你的結論并說明理由．

Answer 1

分析 （1）|x+2y-5|+|2x-y|=0，根據(jù)非負數(shù)的性質得，x+2y-5≥0，2x-y≥0；由此解不等式即可求得，A、B兩點同時從原點O出發(fā)，點A以每秒x個單位長度沿x軸的負方向運動，點B以每秒y個單位長度沿y軸的正方向運動，∴A（-1，0），B（0，2）；
（2）不發(fā)生變化．要求∠P的度數(shù)，只要求出∠PAB+∠PBA的度數(shù)．利用三角形內(nèi)角和定理得，∠P=180°-∠PAB-∠PBA；角平分線性質得，∠PAB=$\frac{1}{2}$∠EAB，∠PBA=$\frac{1}{2}$∠FBA，外角性質得，∠EAB=∠ABO+90°，∠FBA=∠BAO+90°，則可求∠P的度數(shù)；
（3）試求∠AGH和∠BGC的大小關系，找到與它們有關的角．如∠BAC，作GM⊥BF于點M，由已知有可得∠AGH與∠BGC的關系．

解答 解：（1）解方程組：$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5=0}\\{2x-y=0}\end{array}\right.$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2；

（2）∠P的大小不發(fā)生變化，
∵∠P=180°-∠PAB-∠PBA
=180°-$\frac{1}{2}$（∠EAB+∠FBA）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABO+90°+∠BAO+90°）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°+90°）
=180°-135°
=45°，
∴∠P的大小不會發(fā)生變化；

（3）∠AGH=∠BGC，理由如下：
作GM⊥BF于點M．
由已知有：∠AGH=90°-$\frac{1}{2}$∠EAC
=90°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）
=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∠BGC=∠BGM-∠CGM
=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC-（90°-$\frac{1}{2}$∠ACF）
=$\frac{1}{2}$（∠ACF-∠ABC）
=$\frac{1}{2}$∠BAC
∴∠AGH=∠BGC．

點評 本題考查了坐標與圖形的性質，考查角平分線性質，三角形內(nèi)角和定理，非負數(shù)的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．