Question

10．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，P是圓外一點(diǎn)，PA為⊙O的切線，且PA=PB，連接OP，線段AB與線段OP相交于點(diǎn)D．
（1）求證：PB為⊙O的切線；
（2）若tan∠BCA=$\frac{4}{3}$，⊙O的半徑為10，求線段PD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）要證PB為⊙O的切線PB為⊙O的切線，只要證明△OAP≌△OBP即可，根據(jù)題目中的條件可以證明該結(jié)論成立；
（2）根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的二倍，由tan∠BCA=$\frac{4}{3}$，⊙O的半徑為10，可以得到OP和OD的長(zhǎng)，從而可以解答本題．

解答 （1）證明：連接OA、OB，如右圖所示，
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP，
∵PA為⊙O的切線，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，
∴PB為⊙O的切線；
（2）解：∵△OAP≌△OBP，
∴∠AOP=∠BOP，
又∵∠AOB=2∠BCA=∠AOP+∠BOP，
∴∠BCA=∠AOP，
∵tan∠BCA=$\frac{4}{3}$，⊙O的半徑為10，
∴tan∠AOP=$\frac{4}{3}$，OA=10，
∴AP=OA•tan∠AOP=10×$\frac{4}{3}$=$\frac{40}{3}$，OD=6，
∴OP=$\frac{50}{3}$，
∴PD=OP-OD=$\frac{32}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、三角形的外接圓與外心、解直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．