Question

14．（1）如圖1，4條直線l₁、l₂、l₃、l₄是一組平行線，相鄰2條平行線的距離都是2cm，正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D分別在l₁、l₃、l₄、l₂上，求該正方形的面積；
（2）如圖2，把一張矩形卡片ABCD放在每格寬度為18mm的橫格紙中，恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在橫格線上，已知∠1=36°，求長方形卡片的周長．（精確到1mm）（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）

Answer 1

分析 （1）過D點(diǎn)作直線EF與平行線垂直，與l₁交于點(diǎn)E，與l₄交于點(diǎn)F．易證△ADE≌△DFC，得CF=2，DF=4．根據(jù)勾股定理可求CD²得正方形的面積；
（2）作BE⊥l于點(diǎn)E，DF⊥l于點(diǎn)F，求∠ADF的度數(shù)，在Rt△ABE中，可以求得AB的值，在Rt△ADF中，可以求得AD的值，即可計(jì)算矩形ABCD的周長，即可解題．

解答 解：（1）如圖1，作EF⊥l₂，交l₁于E點(diǎn)，交l₄于F點(diǎn)．
∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，EF⊥l₂，
∴EF⊥l₁，EF⊥l₄，
即∠AED=∠DFC=90°．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ADC=90°．
∴∠ADE+∠CDF=90°．
又∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠CDF=∠DAE．
∵AD=CD，
在△ADE和△DCF，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠DFC=90°}\\{∠CDF=∠DAE}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴CF=DE=2．
∵DF=4，
∴CD²=2²+4²=20，
即正方形ABCD的面積為20cm²；

（2）如圖2，作BE⊥l于點(diǎn)E，DF⊥l于點(diǎn)F．
∵∠1+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF=∠1=36°，
根據(jù)題意，得BE=36mm，DF=72mm．
在Rt△ABE中，sin∠1=$\frac{BE}{AB}$，
∴AB=$\frac{BE}{sin36°}$=60mm，
在Rt△ADF中，cos∠ADF=$\frac{DF}{AD}$，
∴AD=$\frac{DF}{cos36°}$mm=90mm．
∴矩形ABCD的周長=2（60+90）=300mm．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)值的計(jì)算等知識，根據(jù)平行線之間的距離構(gòu)造全等的直角三角形是關(guān)鍵．