Question

5．如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，點(diǎn)P是AC邊上一動點(diǎn)，由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動（不與點(diǎn)A，C重合），點(diǎn)Q是CB延長線上一動點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由點(diǎn)B向CB延長線方向運(yùn)動（點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，連接PQ交AB于點(diǎn)D．則ED的長為（　�。�

• A． 2cm
• B． 3cm
• C． 4cm
• D． 缺少條件，無法求出

Answer 1

分析 作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點(diǎn)F，連接QE，PF，由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動且速度相同，可知AP=BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，由等邊△ABC的邊長為6可得出DE=3，

解答 解：作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點(diǎn)F，連接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵點(diǎn)P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
在△APE和△BQF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠BFQ}\\{∠A=∠FBQ}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四邊形PEQF是平行四邊形，
∴DE=$\frac{1}{2}$EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
又∵等邊△ABC的邊長為6，
∴DE=3，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．