Question

20．如圖，在△ABC中，AB=AC=6cm，BC=4cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1s后，△BPD≌△CQP．
（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等．
①當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？
②若點(diǎn)Q以①中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，并求出相遇的具體位置．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)時(shí)間和速度分別求得兩個(gè)三角形中的邊的長(zhǎng)，根據(jù)SAS判定兩個(gè)三角形全等．
（2）①根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)路程=速度×?xí)r間公式，先求得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求得點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；②根據(jù)題意結(jié)合圖形分析發(fā)現(xiàn)：由于點(diǎn)Q的速度快，且在點(diǎn)P的前邊，所以要想第一次相遇，則應(yīng)該比點(diǎn)P多走等腰三角形的兩個(gè)邊長(zhǎng)．

解答 解：（1）1s，
理由如下：
∵t=1秒，
∴BP=CQ=1×1=1厘米，
∵AB=6cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴BD=3cm．
又∵PC=BC-BP，BC=4cm，
∴PC=4-1=3cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BPD≌△CPQ；

（2）①設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，經(jīng)過ts后△BPD≌△CPQ，
則BP=CP，BD=CQ．
∴$\left\{\begin{array}{l}{t=4-t}\\{3=xt}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{t=2}\\{x=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為$\frac{3}{2}$cm/s時(shí)，△BPD≌△CPQ；
②設(shè)經(jīng)過x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，
由題意，得 1.5x=x+2×6，
解得x=24，
∴點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了24s×1cm/s=24cm．
∵24=2×12，
∴點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AC邊上相遇，
∴經(jīng)過24秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AC上相遇．
∴點(diǎn)P、Q在AC邊上相遇，相遇地點(diǎn)距離C點(diǎn)4cm處．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了路程=速度×?xí)r間的公式．熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠分析出追及相遇的問題中的路程關(guān)系是解題的關(guān)鍵．