Question

17．如圖，在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，E是線段BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AE=$\frac{1}{3}$AB，連接CE，在線段CE上取一點(diǎn)F，使得CF=$\frac{5}{2}$，連接FD，將△CFD沿FD折疊至△C₁FD，連接C₁B，則△C₁BD的面積為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 如圖建立如圖坐標(biāo)系，連接CC₁，DF的延長(zhǎng)線交CC₁于M，作FH⊥BC于H．想辦法求出點(diǎn)C₁的坐標(biāo)，根據(jù)S_△BDC=${S}_{△BC{C}_{1}}$+${S}_{△CD{C}_{1}}$-S_△BCD計(jì)算即可．

解答 解：如圖建立如圖坐標(biāo)系，連接CC₁，DF的延長(zhǎng)線交CC₁于M，作FH⊥BC于H．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∵AE=$\frac{AB}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴BE=$\frac{20}{3}$，
在Rt△BCE中，EC=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{25}{3}$，
∵FH∥BE，
∴$\frac{CF}{CE}$=$\frac{FH}{BE}$=$\frac{CH}{BC}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{25}{3}}$=$\frac{FH}{\frac{20}{3}}$=$\frac{CH}{5}$，
∴FH=2，CH=$\frac{3}{2}$，
∴BH=BC-CH=$\frac{7}{2}$，
∴F（$\frac{7}{2}$，2），∵D（5，5），
∴直線DF的解析式為y=2x-5，
∵CC₁⊥DF，
∴直線CC₁的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-5}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，1），
∵M(jìn)C=MC₁，
∴C₁（1，2），
∴S_△BDC=${S}_{△BC{C}_{1}}$+${S}_{△CD{C}_{1}}$-S_△BCD=$\frac{1}{2}$×5×2+$\frac{1}{2}$×5×4-$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{5}{2}$，
故答案為$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、翻折變換、坐標(biāo)與圖形、一次函數(shù)的應(yīng)用、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用一次函數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．