Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜邊AB上的高．
（1）試說明△ABC∽△CBD∽△ACD；
（2）由△ABC∽△ACD，可得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，即AC是AB和AD的比例中項；
（3）圖中還存在哪些有關(guān)“比例中項”的結(jié)論？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠CDA=∠ACB=90°，根據(jù)有兩個角對應(yīng)相等的兩三角形相似得出△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，即可得出答案；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，由比例式得到等積式，結(jié)論即可得到；
（3）根據(jù)三角形相似得到比例式，由比例式化成等積式即可．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=∠ACB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
同理△CBD∽△ABC，
∴△ACD∽△CBD∽ABC；
（2）∵△ABC∽△ACD，∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴AC²=AB•AD，
∴AC是AB，AD的比例中項，
故答案為：AB，AD；

（3）∵△CBD∽△ABC，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，
∴BC²=AB•BD，
∵△ACD∽△BCD，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，
∴CD²=AD•BD．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，有關(guān)比例中項問題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．