Question

11．已知：如圖1，在ABC中，A，B，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（4，0），（0，2），點M為邊BC上的中點，點N為邊AB上一點，且N的橫坐標(biāo)為方程2n²+5n-12=0一個根．
（1）求N的坐標(biāo)和直線MN的解析式．
（2）判斷直線MN與BC的位置關(guān)系，并說明你的理由．
（3）如圖2，①在圖2中作出△ABC的外接圓；②過Q（$\frac{5}{2}$，0）作直線l⊥x軸，點P在直線l上，且在第一象限，試確定一個點P，使得∠CPD+∠CAB=180°，求出滿足條件的P點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中點坐標(biāo)公式，可得M點坐標(biāo)，根據(jù)解方程，可得N點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)兩直線的一次項系數(shù)的乘積為-1，可得兩直線垂直，根據(jù)垂線過線段的中點，可得答案；
（3）①根據(jù)不在同一條直線上的三點，任意兩點所作的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即圓心；
②根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，可得∠PCA=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠PDC=∠OCA，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得CD的長，根據(jù)線段的和差，可得OD的長．

解答 解：（1）∵A（1，0），B（4，0），C（0，2），
∴點M為BC上的中點，
∴M（2，1），
由2n²+5n-12=0，得到n=$\frac{-5±\sqrt{121}}{4}$=$\frac{-5±11}{4}$，
解得：n=$\frac{3}{2}$或n=-4（舍去），
∴N（$\frac{3}{2}$，0），
設(shè)直線MN解析式為y=kx+b，
把M與N坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=0}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
則直線MN解析式為y=2x-3；
（2）設(shè)經(jīng)過B，C兩點的直線解析式為y=k₁x+b₁，
把B與C坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4{k}_{1}+_{1}=0}\\{_{1}=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{_{1}=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵直線MN解析式為y=2x-3，
∴直線MN⊥BC，且平分BC；
（3）①由（2）得MN⊥BC，且平分BC，
∵A（1，0），B（4，0），
∴線段AB的中點坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，0），即為圖中Q點，
∴直線l⊥AB，且平分AB，設(shè)與直線MN的交點為S，
∴AS=BS=CS，
則S為△ABC外接圓圓心，畫出△ABC，如圖所示：；
②∵∠CPQ+∠CAB=180°，∠PQA=90°，
∴∠PCA=360°-（∠CPQ+∠CAB）-∠PQA=90°，
∴PC⊥AC，
如圖2：，
過C作PC⊥AC，PC交直線l于P點，過P點作PD⊥y軸于點D，
∴∠PDC=∠COA=∠PCA=90°，
PD=OQ=$\frac{5}{2}$．
∵∠DPC+∠PCD=90°，∠PCD+∠OCA=90°，
∴∠DPC=∠OCA，
∴△PCD∽△CAO，
∴$\frac{PD}{OC}$=$\frac{CD}{OA}$，CD=$\frac{AO•PD}{CO}$=$\frac{1×\frac{5}{2}}{2}$=$\frac{5}{4}$，
OD=OC+CD=2+$\frac{5}{4}$=$\frac{13}{4}$，
P（$\frac{5}{2}$，$\frac{13}{4}$）．

點評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了線段中點的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用線段垂直平分線的判定，利用兩直線一次項系數(shù)的乘積得出兩直線垂直是解題關(guān)鍵；（3）利用了確定圓的條件：兩條線短垂直平分線的交點；利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出CD的長是解題關(guān)鍵．