Question

20．將一大、一小兩個等腰直角三角形拼接，AB=CB，EB=DB，∠ABC=∠EBD=90°，連接AE，CD
（1）如圖1，若A，B，D三點共線，試確定AE與CD的位置關系與數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，若A，B，D三點不共線，（1）中的結(jié)論是否成立，為什么？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以證明△ABE≌△CBD，進而得出∠AEB=∠CDB，AE=CD，據(jù)此即可得解；
（2）首先證明∠ABE=∠CBD，可以得出△ABE≌△CBD，進而得出∠EAB=∠DCB，AE=CD，據(jù)此即可得解．

解答 解：（1）AE⊥CD，AE=CD，
∵在△ABE和△CBD中，
     $\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABC=∠EBD}\\{EB=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（ASA），
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB，
∵∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠CDB+∠EAB=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AE⊥CD；  
（2）成立，
∵∠ABC=∠EBD=90°，
∴∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE，
即：∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{EB=DB}\end{array}\right.$，
∴∴△ABE≌△CBD（ASA），
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，
∵∠AOB+∠EAB=90°，
∴∠DCB+∠COE=90°，
∴∠AFC=90°，
∴AE⊥CD．

點評 本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)定理與判定定理．牢記定理是解題的關鍵，還考查了垂直的定義，注意總結(jié)．