Question

15．還記得在全等三角形中證明的一個(gè)習(xí)題嗎？如圖所示，已知在△ABC中，分別以AC、BC為邊，向外作正△ACD、正△BCE，BD與AE相交于M，求證：AE=BD
這是在全等三角形中的一道常見的習(xí)題，你知道嗎？在這個(gè)結(jié)論的基礎(chǔ)上還能證明MC平分∠DME，你想試一試嗎？

Answer 1

分析 由等邊三角形的性質(zhì)得出AC=DC，∠DAC=∠ACD=∠CBE=∠BCE=60°，BC=EC，得出∠AE=∠DCB，由SAS證明△ACE≌△DCB（SAS），得出∠1=∠2，∠3=∠4，得出A、D、C、M四點(diǎn)共圓，B、E、C、M四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠DMC=∠DAC=60°，∠EMC=∠CBE=60°，即可得出結(jié)論．

解答 證明：如圖所示：
∵△ACD、△BCE是等邊三角形，
∴AC=DC，∠DAC=∠ACD=∠CBE=∠BCE=60°，BC=EC，
∴∠AE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}&{\;}\\{∠ACE=∠DCB}&{\;}\\{EC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴A、D、C、M四點(diǎn)共圓，B、E、C、M四點(diǎn)共圓，
∴∠DMC=∠DAC=60°，∠EMC=∠CBE=60°，
∴∠DMC=∠EMC，
∴MC平分∠DME．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．